Durchführen einer Dochtrotation, um die euklidische Wirkung eines Skalarfelds zu erhalten

Question

Durchführen einer Dochtrotation, um die euklidische Wirkung eines Skalarfelds zu erhalten

apt45

Ich arbeite mit der Signatur $(+,-,-,-)$ und mit einem Minkowski-Raumzeit-Lagrangian

L_{M} = Ψ^{†} (ich \partial_{0} + \frac{\nabla^{2}}{2 M}) Ψ .

$\mathcal{L}_M ~=~ \Psi^\dagger\left(i\partial_0 + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi.$ Die Minkowski-Aktion ist

S_{M} = \int D T D^{3} X L_{M} .

$S_M ~=~ \int dt d^3x \mathcal{L}_M.$ Ich sollte die euklidische Wirkung durch Wick-Rotation erhalten.

Meine Frage bezieht sich auf die Art und Weise, wie ich die Wick-Rotation durchführen soll. Das Thema ist etwas schon gefragt worden ( hier schauen ). Das Problem ist, dass die Antwort auf die Frage für mich und für diesen speziellen Fall nicht zufriedenstellend ist.

Da das Raumzeitintervall definiert ist durch $ds^2 = dt^2 - d\vec{x}^2$ , Wenn ich eine Wick-Rotation durchführe (nur die Zeitachse rotiere), erhalte ich ein negatives euklidisches Intervall.

Was hat das für einen Sinn? Was ist die Verbindung zwischen physischen Aktionen, die in zwei verschiedenen Signaturen berechnet wurden?
Ich kann die Drehung mit verschiedenen Vorzeichen ausführen $t =\pm i\tau$ . Ich weiß, dass ich, wenn es irgendwelche Pole gibt, das richtige Zeichen wählen muss, um sie nicht zu überqueren. Aber in diesem Fall kann ich anscheinend beides auswählen und bekomme immer das gleiche negative euklidische Intervall, aber unterschiedliche Ergebnisse.

Wenn ich wähle $t = i\tau$ Ich bekomme

S_{M} = ich \int_{+ ich \infty}^{- ich \infty} D τ D^{3} X Ψ^{†} (ich \frac{\partial}{\partial ich τ} + \frac{\nabla^{2}}{2 M}) Ψ = - ich \int_{- ich \infty}^{+ ich \infty} D τ D^{3} X Ψ^{†} (\frac{\partial}{\partial τ} + \frac{\nabla^{2}}{2 M}) Ψ

$S_M ~=~i\int_{+i\infty}^{-i\infty} d\tau d^3x \Psi^\dagger\left(i\frac{\partial}{\partial i\tau} + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi ~=~ -i\int_{-i\infty}^{+i\infty} d\tau d^3x \Psi^\dagger\left(\frac{\partial}{\partial \tau} + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi$

Wenn ich wähle $t = -i\tau$ Ich bekomme

S_{M} = - ich \int_{- ich \infty}^{+ ich \infty} D τ D^{3} X Ψ^{†} (- ich \frac{\partial}{\partial ich τ} + \frac{\nabla^{2}}{2 M}) Ψ = - ich \int_{- ich \infty}^{+ ich \infty} D τ D^{3} X Ψ^{†} (- \frac{\partial}{\partial τ} + \frac{\nabla^{2}}{2 M}) Ψ

$S_M ~=~-i\int_{-i\infty}^{+i\infty} d\tau d^3x \Psi^\dagger\left(-i\frac{\partial}{\partial i\tau} + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi ~=~ -i\int_{-i\infty}^{+i\infty} d\tau d^3x \Psi^\dagger\left(-\frac{\partial}{\partial \tau} + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi$

Ich glaube, es gibt einen kleinen Unterschied, den ich nicht verstehe

Ist die euklidische Aktion definiert durch $S_M = i S_E$ oder von $S_M = -iS_E$ ?

Antworten (3)

Durchführen einer Dochtrotation, um die euklidische Wirkung eines Skalarfelds zu erhalten

QMechaniker · Answer 1

Damit das euklidische Pfadintegral konvergiert, sollte der Boltzmann-Faktor eine exponentiell abfallende Funktion des Skalarfelds sein $\phi$ . Dies bestimmt wiederum die Drehrichtung des Dochts . (Es sollte vielleicht betont werden, dass die Wick-Rotation nicht nur eine Umbenennung von Zeitvariablen ist, sondern dass es sich um eine tatsächliche Verformung der Zeitintegrationskontur in der komplexen Zeitebene handelt.) Standardkonventionen für die Wick-Rotation sind

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} - S_{E} = & ich S_{M}, \\ T_{E} = & ich T_{M}, \\ L_{E} = & - L_{M}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -S_E~=~&iS_M, \cr t_E~=~&it_M, \cr {\cal L}_E~=~&-{\cal L}_M,\end{align} \tag{1}$

wo die Indizes $E$ Und $M$ stehen für Euklid bzw. Minkowski. Im Fall von OP

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} L_{M} = & ich ϕ^{*} \frac{D ϕ}{D T_{M}} - v, \\ L_{E} = & ϕ^{*} \frac{D ϕ}{D T_{E}} + v, \\ v = & \frac{1}{2 M} \nabla ϕ^{*} \cdot \nabla ϕ . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_M~=~&i\phi^{\ast} \frac{d\phi}{dt_M}- {\cal V} ,\cr {\cal L}_E~=~&\phi^{\ast} \frac{d\phi}{dt_E}+ {\cal V} ,\cr {\cal V}~=~&\frac{1}{2m}\nabla\phi^{\ast}\cdot \nabla\phi .\end{align} \tag{2}$ Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

John Doe · Answer 2

Dies geschieht, weil Ihr Feld davon abhängt $t$ , $\Psi = \Psi (x,t)$ . Daher, wenn Sie die Wick-Rotation durchführen $t = i\tau$ , drehen Sie auch Wick auf Ihr Feld und erhalten eine Aktion für $\Psi(x,i\tau)$ . Im zweiten Fall erhalten Sie eine Aktion für $\Psi(x,-i\tau)$ . Das sind nicht die gleichen $\Psi$ 'S.

Ja, das stimmt, aber die klassische euklidische Aktion ist die zweite, mit der ich geschrieben habe $\Psi = \Psi(x,t)$ nicht?

Jim Burns · Answer 3

Beachten Sie, dass $\int^{\infty}_{-\infty}f(t)dt=\int^{\infty}_{-\infty}f(-t)dt$ und auch $\int^{\infty}_{-\infty}\frac{df(t)}{dt}dt=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{df(-t)}{-dt}dt$

Durchführen einer Dochtrotation, um die euklidische Wirkung eines Skalarfelds zu erhalten

apt45

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QMechaniker

John Doe

apt45

Jim Burns

Ist es in Ordnung, Wick zu drehen, um das Negative der euklidischen Metrik zu erhalten? Könnten wir die raumähnlichen Koordinaten stattdessen auch imaginär machen?

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