Was bedeutet das negative Vorzeichen in Δs2=Δx2+Δy2+Δz2−(cΔt)2Δs2=Δx2+Δy2+Δz2−(cΔt)2\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Updelta z^2 - (c\Updelta t)^2?

Das relative Minuszeichen zwischen der$x,y,z$Und$t$Bedingungen ist grundlegend. Dieses Minuszeichen ist der Grund, warum wir in der Zeit nicht „umkehren und in die entgegengesetzte Richtung gehen“ können, wie wir es im Raum können.

Die Quantität$\Delta \tau$definiert von

$$(c\Delta \tau)^2 = (c\Delta t)^2 - \big( (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 \big) \tag{1}$$ ist die Eigenzeit , die ein Objekt erlebt, das sich so bewegt, dass sich seine räumlichen Koordinaten ändern$\Delta x,\,\Delta y,\,\Delta z$während des Koordinaten-Zeit-Intervalls$\Delta t$, unter der Annahme, dass es sich während dieses Intervalls träge bewegt. Die Eigenzeit ist nur dann definiert, wenn die rechte Seite von (1) nicht negativ ist, wie es für die Bewegung jedes physikalischen Objekts der Fall sein muss. Ein Raumzeitintervall, für das (1) positiv ist, wird als timelike bezeichnet , und ein Raumzeitintervall, für das (1) null ist, wird als null bezeichnet . Der Nullfall entspricht etwas, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Das Minuszeichen in (1) legt daher eine Geschwindigkeitsbegrenzung fest: Nichts kann sich schneller bewegen als$c$. Genauer gesagt kann nichts schneller als einen lokalen Trägheitsrahmen passieren$c$. (Zur Erläuterung siehe https://physics.stackexchange.com/q/400458 .)

Die Quantität$\Delta \ell$definiert von

$$(\Delta \ell)^2 = \big( (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 \big) - (c\Delta t)^2 \tag{2}$$ ist der richtige Abstand zwischen zwei Punkten. Sie ist nur definiert, wenn die rechte Seite nichtnegativ ist. Ein Intervall, für das die rechte Seite von (2) positiv ist, heißt spacelike .

Die Metrik der Raumzeit, die Zeit und Geometrie definiert, kann implizit angegeben werden, indem entweder die Gleichung für die Eigenzeit (wie in Gleichung (1)) oder die Gleichung für die Eigenentfernung (wie in Gleichung (2)) aufgeschrieben wird. Die Sonderfälle (1) und (2) gelten für die flache Raumzeit, die Arena der speziellen Relativitätstheorie. Für gekrümmte Raumzeit können die Ausdrücke komplizierter sein; aber die rechten Seiten der Eigenzeit- und Eigenabstandsgleichungen sind immer die Negativen des anderen, sodass dieselbe Raumzeitmetrik in beiden Fällen angegeben werden kann.

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Anhang

Dieser Anhang erklärt die einleitende Aussage darüber, warum das Minuszeichen bedeutet, dass wir nicht rechtzeitig umkehren können.

Gleichung (1) ist eine diskrete Version von

$$(c\,d\tau)^2 = (c\,dt)^2 - \big( (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 \big) \tag{3}$$ Wo$dt,dx,dy,dz$sind infinitesimale Koordinateninkremente entlang einer glatten Weltlinie (Kurve in der Raumzeit). Um die Geschichte eines physikalischen Objekts darzustellen, muss die rechte Seite von (3) nichtnegativ sein. Das richtige Zeitinkrement$d\tau$ist nur für solche Weltlinien definiert. Die Behauptung ist, dass wir die Weltlinie parametrisieren, indem wir die Koordinaten ausdrücken$t,x,y,z$als glatte Funktionen eines einzelnen Parameters$u$so dass unterschiedliche Werte von$u$entsprechen dann bestimmten Punkten entlang der Weltlinie$dt/du$hat überall entlang der Weltlinie das gleiche Zeichen. (Für eine zeitähnliche Weltlinie könnten wir verwenden$u=\tau$, aber mit einem generischen$u$nimmt auch lichtartige Weltlinien auf.)

Hier ist ein Beweis. Die Bedingung, dass die rechte Seite von (3) nichtnegativ sein muss, ist die gleiche wie die Bedingung

$$\left(c\,\frac{dt}{du}\right)^2 \geq \left(\frac{dx}{du}\right)^2 + \left(\frac{dy}{du}\right)^2 + \left(\frac{dz}{du}\right)^2. \tag{4}$$ Da die Funktionen glatt sind (weil körperliche Bewegungen glatt sind), geht das nur so$dt/du$kann das Vorzeichen ändern, wenn es irgendwo gleich Null ist. Gemäß Gleichung (4) kann es nicht null sein, außer wo$dx/du$,$dy/du$, Und$dz/du$sind alle Null. Wir haben uns aber für die Parametrisierung entschieden$u$so sein, dass unterschiedliche Werte von$u$entsprechen bestimmten Punkten entlang der Weltlinie. Wenn die$x,y,z$Derivate alle Null sind, dann erfordert dies$dt/du\neq 0$. Deshalb,$dt/du$kann nirgendwo Null sein, also kann es das Vorzeichen nicht ändern.

So verhindert das Minuszeichen in Gleichung (3), dass sich ein physisches Objekt in der Zeit "umdreht", wie es im Raum der Fall ist.

Wenn wir die Entfernung in Lichtsekunden statt in Metern messen würden, wäre die Konstante c 1 und das metrische Entfernungselement würde einfach zu werden

$Δs^2 = Δx^2 + Δy^2 + Δz^2 - Δt^2$, oder

$Δs^2 = Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2$

(beide Formen sind äquivalent, da die Multiplikation des Vektors mit -1 seine quadrierte Länge nicht ändert)

Dieses metrische Abstandselement folgt aus den Maxwell-Gleichungen, die im 4-Raum als eine einzige Gleichung geschrieben werden können (ich verwende hier c der Übersichtlichkeit halber wieder):

$((1/c^2) (∂^2/∂t^2 ) - (∂^2/∂x^2) - (∂^2/∂y^2) - (∂^2/∂z^2) )A= μ_0 J$

worin$A=(φ/c,(A_x,A_y,A_z ))$ist das aus Skalar- und Vektorpotential zusammengesetzte 4-Potential und$J=(ρc,(J_x,J_y,J_z ))$ist die 4-Stromdichte, die sich aus Ladung und Strom zusammensetzt

Diese Gleichung wird auch als Grundgleichung der Elektrodynamik bezeichnet und ist das 4-Raum-Äquivalent der Poisson-Gleichung im 3D-Raum:

$((∂^2/∂x^2) + (∂^2/∂y^2) + (∂^2/∂z^2))φ = -ρ$

wobei φ ein Potential und ρ eine Quellendichte (oder -ladung) ist.

Diese Gleichungen folgen aus dem allgemeinen Stokes-Erhaltungsgesetz (oder Bilanzierungsgesetz):

$∫_Vdω = ∫_{dV} ω$

die besagt, dass die Bestandsänderung einer Größe dω innerhalb eines Volumens oder Hypervolumens V gleich dem Fluss der Größe ω durch die Oberfläche oder Hyperoberfläche dV des Volumens ist.

In seiner differentiellen Form ergibt es das Gesetz von Gauß:

$div (ω(x)) = ρ(x)$

wobei ω die fließende Menge und ρ die Quelldichte ist.

Wenn man den Fluss ω als Gradient eines Potentials φ ausdrückt, erhält man:

$ω(x)= -grad(φ(x))$

Dies ergibt dann die Poisson-Gleichung:

$∆(φ(x)) = div(grad(φ(x))) = -ρ(x)$

Die Poisson-Gleichung ist eine Strömungserhaltungsgleichung im dreidimensionalen Raum mit metrischer Signatur (+,+,+). Das metrische Abstandselement darin ist

$Δs^2 = Δx^2 + Δy^2 + Δz^2$

Die Grundgleichung der Elektrodynamik ist eine Strömungserhaltungsgleichung im 4-Raum der metrischen Signatur (+,-,-,-). Das metrische Abstandselement darin ist

$Δs^2 = Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2$

Bei der Speziellen Relativitätstheorie geht es nur um Strömung im 4-Raum, ebenso wie bei der Elektrodynamik.