Wie berechnet man Raumzeitintervalle in einem Raumzeitdiagramm?

In SR wird das Raumzeitintervall durch die Metrik angegeben:

D S 2 = − D T 2 + D X 2 (wo ich setze C = 1 ).

Berechnen D S 2 einer Weltlinie auf einem Raumzeitdiagramm messe ich D T Und D X der interessierenden Linie und setzen Sie die obige Gleichung ein.

Aber in seiner Antwort auf diese Frage berechnete Benutzer Marek das Raumzeitintervall der grünen Linie als D S 2 2 = − 20 2 + 10 2 = − 300 .

Das verwirrt mich, weil ich dachte D S 2 2 = − 150 . Denn um die Länge der grünen Kurve zu berechnen, muss ich die Länge eines Teils davon berechnen und dann mit 2 multiplizieren, da die beiden grünen Längen gleich sind. Durch Zählen vom Gitter aus, D T = 10 Und D X = 5 , somit D S 2 2 = 2 ∗ ( − ( 10 ) 2 + ( 5 ) 2 ) = − 150 .

So ist mein Verständnis davon, wie man rechnet D S 2 verwechselt oder ist es nur ein kleiner Fehler von Marek?

Antworten (1)

Marek hat sich nicht wirklich geirrt, aber du schon. Aber Marek könnte unklar gewesen sein, indem er über einige Stufen gesprungen ist. Lassen Sie uns also zuerst klären. Die Metrik gibt das differenzielle quadrierte Intervall an D S 2 = − D T 2 + D X 2 woraus Sie die differentielle Eigenzeit erhalten können D τ = D T 2 − D X 2 .

Also für die blaue gerade Linie, die Sie haben τ = ∫ D τ = ∫ D T 2 − D X 2 = ∫ D T = 20. Und für jede gerade Linie ∫ D T 2 − D X 2 = ( Δ T ) 2 − ( Δ X ) 2 .

Für die grüne Kurve macht es also zwei Geraden A und B τ = ∫ D τ = ∫ D T 2 − D X 2 = ∫ A D T 2 − D X 2 + ∫ B D T 2 − D X 2 = 10 2 − 5 2 + 10 2 − 5 2 = 2 75 = 300 .

Sie möchten also nicht zwei quadratische Intervalle addieren. Die Metrik ist nur für Differentialintervalle. Und Sie möchten die tatsächlichen metrischen Längen (nicht die quadrierten Längen) addieren, um die Gesamtlänge einer Kurve zu erhalten. Für gerade Linien ∫ D T 2 − D X 2 = ( Δ T ) 2 − ( Δ X ) 2 Sie könnten also verwirrt werden. Aber es ist genauso wie die Berechnung der Länge einer Kurve in einer beliebigen Geometrie. Sie zerlegen die Kurve in Stücke, finden die Stücke von jedem und addieren sie. Das wird zu einem Integral, und die wirklich kleinen Stücke können schließlich durch gerade Linien angenähert werden, und diese sind leicht zu berechnen, so einfach zu berechnen, dass die Leute sich vielleicht nicht die Mühe machen, das Integral zu erwähnen, wenn sie eine gerade Linie angeben.

Aber was Sie hinzufügen, sind Längen, nicht quadrierte Längen. Quadratische Längen sind einfach einfacher zu berechnen. Und Marek ist über einige Stufen gesprungen.

Sind die Regeln für die Berechnung einer Metrik in der Allgemeinen Relativitätstheorie gleich (außer dass die Metrik Kreuzbegriffe hat, was natürlich eine ganz neue technische Schwierigkeit hinzufügt)? Aber ansonsten integrieren wir über den Pfad unter Verwendung der Metrik der allgemeinen Relativitätstheorie, um das Intervall zu erhalten?
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