Kann die Quaternion-Mathematik verwendet werden, um die Raumzeit zu modellieren?

Es gibt einige Probleme bei der Verwendung von Quaternionen zur Beschreibung der Raumzeit. Quaternionen haben zwei wichtige Eigenschaften: (1) sie bilden einen vierdimensionalen Vektorraum; (2) Sie können Quaternionen miteinander multiplizieren. ^[1] Die erste Eigenschaft ist offensichtlich sehr suggestiv, aber sie unterscheidet sich nicht von den üblichen Vierervektoren, die wir bereits in der speziellen Relativitätstheorie verwenden. Um Quaternionen gezielt zu nutzen, müssten wir auch die zweite Eigenschaft verwenden. Denken Sie daran, dass Sie – zumindest in gewöhnlichen Diskussionen über die spezielle Relativitätstheorie – niemals Vierervektoren miteinander multiplizieren und einen weiteren Vierervektor erhalten; Sie "vertragen" sie nur (nehmen Sie ihr Punktprodukt). Und die Standard-Quaternion-Multiplikation erreicht dieses Skalarprodukt nicht wirklich., aber dann gibt es diese zusätzlichen Vektorkomponenten. Sie können einen reinen Skalar erhalten, indem Sie eine Quaternion mit sich selbst multiplizieren, aber nur, indem Sie eine Kopie konjugieren, was Ihnen eher ein positiv-definitives Ergebnis als das Intervall gibt. Es ist also nicht sehr nützlich für die spezielle Relativitätstheorie. Und was Vektoren angeht, ist der übliche Ansatz gut genug.

Obwohl sie vier Freiheitsgrade haben, "leben" Quaternionen wirklich in einem physischen Raum von drei Dimensionen. Es stellt sich heraus, dass Quaternionen nicht als Skalar plus Vektor betrachtet werden sollten. Stattdessen sollten sie als Skalar plus Bi -Vektor betrachtet werden . ^[2] Genauer gesagt sind Quaternionen eigentlich die natürlichen "Spinoren" des dreidimensionalen Raums. Anstatt wie Vektoren zu sein, wirken sie auf Vektoren. Beispielsweise ist die wahrscheinlich häufigste Verwendung für Quaternionen die Beschreibung von Drehungen von Vektoren. Dies muss wiederholt werden: Quaternionen sollten nicht als Vektoren in 4-d betrachtet werden; Sie sollten als Operatoren betrachtet werden, die auf Vektoren in 3D wirken.

Um Ihre Frage zu beantworten, ja, Sie könnten Quaternionen verwenden, um die Raumzeit zu modellieren - obwohl viel nutzloses Gepäck herumschwirren würde. Aber wenn ich die Motivation für Ihre Frage extrapoliere, könnte ich sie umformulieren als "Können wir die besonderen Eigenschaften von Quaternionen nutzen, um einen rechnerischen Vorteil oder einen philosophischen Einblick in die Relativitätstheorie zu erhalten?" Darauf ist die Antwort nein; Sie haben nichts Nützliches über die Raumzeit zu sagen, da es in Wirklichkeit nur um Raum geht.

Aber es gibt gute Nachrichten! Es gibt eine natürliche Verallgemeinerung von Quaternionen auf die vierdimensionale Raumzeit, die uns wirklich rechnerische Vorteile und philosophische Einsichten verschafft. Das Coole daran, Quaternionen als Skalar + Bivektor zu betrachten, ist, dass sich die Idee jetzt sehr leicht auf beliebige Dimensionen verallgemeinern lässt – und insbesondere auf die Minkowski-Raumzeit . Dies ist ein Studiengebiet namens "Geometrische Algebra" oder kurz GA. ^[3]

Spinoren in 4 Dimensionen ^[4] verhalten sich sehr ähnlich wie Spinoren in 3 Dimensionen (Quaternionen). Zum Beispiel können sie verwendet werden, um 4-dimensionale Vektoren sehr schön zu drehen. Aber sie können auch 4-D-Vektoren genauso einfach verstärken – ein Boost ist eine Art verallgemeinerte Rotation . Es stellt sich heraus, dass viele der üblichen Dinge, die wir in der speziellen Relativitätstheorie tun , mit Spinoren viel einfacher sind.

Und du kannst weiter in andere Dimensionen gehen. Wenn Sie zum Beispiel auf nur zwei Dimensionen zurückgehen, stellen Sie fest, dass komplexe Zahlen die Spinoren von 2-d sind! Mit GA fangen Sie sogar an, komplexe Algebra besser zu verstehen. Tatsächlich habe ich Biologen GA beigebracht, indem ich in 2 Dimensionen angefangen habe. Sobald Sie dieses einfache Beispiel verstanden haben, ist es fast trivial, GA auf beliebige Dimensionen zu erweitern. ^[5]

Wenn Sie mehr erfahren möchten, gibt es dazu ein fantastisches Buch namens Geometric Algebra for Physicists . Es ist eigentlich mein liebstes Physikbuch, Punkt. Es gibt auch viele gute Online-Referenzen, wenn Sie danach googeln. Und ich muss das Geometric Algebra-Modul für sympy einstecken , was uns ein nettes (Open-Source-)Programm gibt, um die Mathematik symbolisch zu machen.

Fußnoten:

1. Zusammengenommen bedeuten diese beiden Tatsachen, dass Quaternionen "eine Algebra" bilden . Die Idee mag etwas seltsam erscheinen – dass man tatsächlich zwei Vektoren miteinander multiplizieren kann. Du weißt bereits, wie man einen Vektor mit einem Skalar multipliziert. Und Sie können das Punkt- und Kreuzprodukt nehmen, aber keines davon ist umkehrbar. Aber wirklich nur zwei Vektoren auf (normalerweise) invertierbare Weise zu multiplizieren, mag seltsam erscheinen. Und dann merkst du, dass du das die ganze Zeit mit komplexen Zahlen machst, die auch "eine Algebra" bilden. Von Matrizen ganz zu schweigen.

2. Es ist einfach so, dass es in drei Dimensionen drei Freiheitsgrade in einem Bivektor und drei Freiheitsgrade in einem Vektor gibt. Als Hamilton also Quaternionen entdeckte, war er verständlicherweise verwirrt darüber, was sie darstellten. Seine Verwirrung war der ganze Grund für die Vektor/Quaternion-Kriege der 1890er Jahre . Heutzutage verstehen wir, dass Quaternionen und Vektoren nur zwei Aspekte derselben Sache sind: GA. Ich würde argumentieren, dass diese Verwirrung eine der großen Tragödien in der Geschichte der Physik ist, da Grassmann und Clifford bereits alle notwendigen Werkzeuge entwickelt hatten, um den Konflikt zu lösen.

3. Wir könnten über den Namen dieses Dings diskutieren, bis die Kühe nach Hause kommen. Aber in der Praxis ist "Geometrische Algebra" ein Untertyp der Clifford-Algebra , außer dass wir davon ausgehen, dass in GA die Koeffizienten für unseren Vektorraum reelle Zahlen sind, während CA Koeffizienten aus jedem Feld haben kann - insbesondere komplexe Zahlen. CA wird jedoch normalerweise mit irrelevanten Abstraktionen eingeführt, und die komplexe Version ist für Anwendungen in der Physik (sogar Quantenmechanik!) fast nie erforderlich.

4. Spinoren in 4-d werden manchmal als Biquaternionen bezeichnet , die "komplexierte" Quaternionen sind, aber das ist ein sehr schlechter Weg. Die Komplexität ist nicht aufschlussreich und gilt nicht wirklich für andere Dimensionen. Ich denke, es ist symptomatisch für eine Tendenz, obskure, zufällige Merkmale zu verwenden, die für eine bestimmte Dimension spezifisch sind – im Gegensatz zu dem intuitiven, pädagogischen, systematischen und universellen Ansatz von GA.

5. Der Weg, den Spinoren und normierte Divisionsalgebren (NDAs) gemeinsam eingeschlagen haben, teilt sich bei Dimension vier, da letztere in eine Sackgasse geraten (es gibt keine NDAs mehr nach Oktonionen). Die Spinoren in vier Dimensionen haben zwar acht Freiheitsgrade, wie die Oktonionen, aber das ist nur die Eigenschaft des Vektorraums. Die andere Eigenschaft von Algebren, die Multiplikation, kann nicht dieselbe sein, weil Oktonionen nicht assoziativ sind – aber Assoziativität ist eines der bestimmenden Merkmale von GA. Die Octonions sind also kein besonderes Beispiel für GA. Es sei aber auch darauf hingewiesen, dass es bei kraftschlüssiger Signatur auch für Dimensionen ≤3 noch andere Spinorgruppen gibt. Beispielsweise sind die Split-Complex-Zahlen die Spinoren einer zweidimensionalen Version des Minkowski-Raums.

   Natürlich braucht man Oktonionen in der Physik kaum. John Baez hat eine typisch großartige Einführung in einen Artikel über Oktonionen in der Physik, den Sie hier lesen können , in dem er zeigt, dass es Anwendungen in der Supersymmetrie / Stringtheorie (und natürlich in reiner Mathematik) gibt. Aber das ist das überzeugendste Argument, das ich gesehen habe, dass Oktonionen jemals relevante Anwendungen in der Physik haben könnten – und ich bin sicherlich nicht überzeugt.

Die obige Antwort ist viel detaillierter (und bei weitem besser) als meine, aber ich würde Penroses "Road To Reality" ab Seite 200 empfehlen, insbesondere die Aussage, dass "The quaternionically natural" quadratische Form (...) die falsche hat Unterschrift für relative Theorie. Die spezielle Relativitätstheorie hängt von einer Signatur von sagen wir - + + + ab (was es uns ermöglicht, Zeit räumlich als -ict auszudrücken), aber wie ich es verstehe, haben Sie bei Quaternionen eine Signatur von + + + +, die nicht mit der übereinstimmt Metrik, die in der 4-D-Raumzeit verwendet wird.

Quaternionen modellieren tatsächlich die Raumzeit.

Quaternionen leiten sich aus der von Leonhard Euler entdeckten 4-Quadrate-Identität ab, dh dass das Produkt zweier Summen von je vier Quadraten immer wieder eine Summe von vier Quadraten ist: ($X_0^2$+$X_1^2$+$X_2^2$+$X_3^2$)($Y_0^2$+$Y_1^2$+$Y_2^2$+$Y_3^2$) = ($Z_0^2$+$Z_1^2$+$Z_2^2$+$Z_3^2$). ($Z_0$,$Z_1$,$Z_2$,$Z_3$) kann algebraisch ausgedrückt werden durch ($X_0$,$X_1$,$X_2$,$X_3$) und ($Y_0$,$Y_1$,$Y_2$,$Y_3$). Durch Substitution$x_0$=$X_0$;$x_1$=$\hat iX_1$;$x_2$=$\hat jX_2$;$x_3$=$\hat kX_3$, und ähnlich für$y_0$,$y_1$,$y_2$,$y_3$; sowie für$z_0$,$z_1$,$z_2$,$z_3$;worin

Ich habe dazu kürzlich einen kleinen Aufsatz im „ Bulletin de la Société Fribourgeoise des Sciences Naturelles “, Vol 103 (2014), S. 83-90 . Die Zeitung trägt den Titel „ De la réalité des nombres “ und ist auf Französisch; es ist ein bisschen expliziter als das, was ich hier in Kürze gesagt habe.