Minkowski-Raumzeit: Gibt es eine Signatur (+,+,+,+)?

Die Bedeutung der Metrik:

$$d\tau^2 = dt^2 - dx^2$$

ist das$d\tau^2$ist eine Invariante, dh jeder Beobachter in jedem Frame, sogar beschleunigten Frames, wird sich auf den Wert von einigen$d\tau^2$. Im Gegensatz$dt$und$dx$sind koordinatenabhängig und verschiedene Beobachter werden sich über die relativen Werte von uneins sein$dt$und$dx$.

Also, obwohl es sicherlich wahr ist, dass:

$$dt^2 = d\tau^2 + dx^2$$

Dies ist (normalerweise) keine nützliche Gleichung, weil$dt^2$ist rahmenabhängig.

Per Definition Minkowski-Raum$\mathbb{R}^{p,q}$Unterschrift haben muss$(p,q)=(1,d-1)$, mit Metrik,

$$ds^2 = -dt^2 +dx_1^2 + dx^2_2 + \dots$$

Die Unterschrift$(+,+,\dots)$entspricht dem euklidischen Raum, der durch eine Wick-Rotation erhalten wird,

$$t\to -i\tau$$

zur imaginären Zeit$\tau$, und die Metrik wird im Fall des Wick-rotierten Minkowski-Raums auf modifiziert$\delta_{\mu\nu}$. In vielen Fällen ist dies praktisch, zB für die Auswertung des Wegintegrals. Insbesondere drehen wir als Beispiel in der bosonischen Stringtheorie die Polyakov-Aktion zu

$$S=\frac{1}{4\pi \alpha'}\int d^2 \sigma \, \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu \delta_{\mu\nu}$$

Ein weiteres Beispiel: Bei der Ableitung der Bekenstein-Hawking-Entropieformel wählen wir die Näherung der Zustandssumme, die normalerweise durch ein Pfadintegral gegeben ist, als

$$Z \sim \sum_{\text{classical solns.}} e^{-I_E}$$

wo$I_E$ist die Euklidische Einstein-Hilbert-Wirkung, ergänzt um notwendige Randterme. Für die Schwarzschild-Metrik würden wir Wick in den euklidischen Raum drehen,

$$ds^2_E = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)d\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2_{\text{II}}$$

und Periodizität auferlegen$\tau$mit Periode$\beta=1/T$. Dies sind nur einige Beispiele von vielen, bei denen die Signatur$(+,+,+,+)$ist für Berechnungszwecke nützlich. Wie John Rennie richtig betonte, manipulierte einfach das unveränderliche Linienelement, um

$$dt^2 = ds^2 + dx^2$$

wird keine Wirkung erzielen, die Metrik ist immer noch technisch$(1,1)$, und$dt^2$ist sicherlich rahmenabhängig.

Das Pathologische$i\,c\,t$und / oder eine "triviale Signatur" erscheinen auf den ersten Blick als sehr glatte und vereinfachende Ideen, aber die Unterschiede zwischen Minkowsky und dem euklidischen Raum sind tatsächlich ziemlich tief und können nicht einfach so einfach weggezaubert werden.

Beachten Sie die folgenden Unterschiede:

1. Das metrische Element (erste Grundform) im euklidischen Raum ist eine echte Metrik: Der Abstand zwischen zwei Elementen in diesem Raum kann nur Null sein, wenn die beiden dieselben Punkte sind, und es ist subadditiv , dh erfüllt die Dreiecksungleichung$d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$. Letzteres ist sehr intuitiv und bestätigt den alltäglichen Begriff der „qualitativen Transitivität der Nähe“: grob bedeutet es „wenn“.$x$ist in der Nähe$y$und$y$in der Nähe von$z$dann$z$ist "irgendwie" in der Nähe von$x$.

2. Das metrische Element in der Minkowski-Raumzeit erfüllt keine dieser entscheidenden Eigenschaften: Ereignisse, die durch einen Nullvektor getrennt sind (der sich vom Nullvektor unterscheidet), haben einen Abstand von Null zwischen sich, und das metrische Element ist NICHT subadditiv: Die Dreiecksungleichung gilt nicht . Die Minkowsky-„Norm“ ist also nicht einmal eine Halbnorm im mathematischen Sinne.

Bei euklidischen Räumen handelt es sich um Normen und innere Produkte im gewohnten, mathematischen Sinne. Ihre Gegenstücke in der Minkowsky-Raumzeit gehören nicht zu diesen Königreichen, obwohl sie einige Ähnlichkeiten haben.

Die Lorentz-Gruppe ist die Menge aller Matrizen, die die Minkowsky-„Norm“ erhalten: Sie erhalten die quadratische Form mit$+,\,-,\,-,\,-$Signatur, und dies kann gezeigt werden, um zu implizieren, dass die Gruppenmitglieder das innere Produkt von Minkowsky ebenfalls konservieren. Die Einführung komplexer Zahlen vernebelt und bringt alles in dieser eleganten Beschreibung durcheinander, weil es bei komplexen Matrizengruppen keinen Begriff der "Signatur" gibt: In diesem Fall verallgemeinert sich der Begriff der Signatur auf "Matrizen, die mit Termen der Form zu einer Matrix diagonisierbar sind$e^{i\,\phi}$entlang seiner führenden Diagonalen". In einer solchen Gruppe kann man Pfaden folgen, die die kontinuierlich deformieren$e^{i\,\phi}$Begriffe ineinander, so dass der Begriff der Signatur verloren geht.

Vielleicht möchten Sie sich meine Ausstellung ansehen$SO^+(1,3)$hier für weitere Details.

Jedes andere "Gerät", das die Signatur "glättet", hat daher wahrscheinlich eine begrenzte Anwendung.

Betrachten Sie einen 2-D euklidischen Vektor$\mathbf v$. Die Länge im Quadrat ist

$$r^2 = \mathbf v \cdot \mathbf v = x^2 + y^2$$

wo$x$und$y$sind die Komponenten des Vektors auf einer gewissen Basis.

$$x = \mathbf v \cdot \hat e_x$$

$$y = \mathbf v \cdot \hat e_y$$

Nun könnten wir die folgende Gleichung schreiben

$$y^2 = x^2 - r^2$$

aber das würde das nicht implizieren$r$ist eine Komponente eines beliebigen Vektors, weil es nicht -$r$ist keine Koordinate.

Wir könnten dies auch nicht so interpretieren, dass das euklidische innere Produkt in ein inneres Minkowski-Produkt geändert wird. Die rechte Seite ist kein Skalarprodukt, da die obige Gleichung tatsächlich gerecht ist

$$y^2 = x^2 - \mathbf v \cdot \mathbf v$$

Ähnlich,$\tau$ist keine Koordinate und kein Bestandteil eines Vierervektors. Wir schreiben für eine zeitähnliche Verschiebung einen Vierervektor$\vec x$

$$\tau^2 = \vec x \cdot \vec x = x^{\mu}x_{\mu} = t^2 - r^2$$

wo

$$t = \vec x \cdot \hat e_0$$

So könnten wir aber durchaus die Gleichung schreiben

$$t^2 = \tau^2 + r^2$$

wir interpretieren die rechte Seite nicht als inneres Produkt, da die obige Gleichung gerecht ist

$$t^2 = \vec x \cdot \vec x + r^2$$

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Durch Ersetzen der Zeit durch die Eigenzeit auf der y-Achse des Minkowski-Diagramms

Erstens und vor allem wäre das resultierende Diagramm überhaupt kein Raumzeitdiagramm, da die Zeitkoordinate unterdrückt würde;$\tau$ist keine Koordinate.

Während ein gerichtetes Liniensegment zwischen zwei Ereignissen in einem Raumzeitdiagramm ein Vierervektor ist, wäre ein solches Liniensegment zwischen zwei Punkten in Ihrem Diagramm kein Vierervektor.

Eine Linie oder Kurve in Ihrem Diagramm könnte als Diagramm einer Familie von Weltlinien interpretiert werden; ein Diagramm der räumlichen Koordinaten der Ereignisse, aus denen die Weltlinien bestehen, gegen die Eigenzeit entlang der Weltlinie.

Aus diesem Diagramm können wir jedoch die tatsächlichen Ereignisse entlang der Weltlinie nicht identifizieren, da in Ihrem Diagramm die Zeitkoordinate unterdrückt ist.