Minkowski-metrische Signatur

Wie Sie geschrieben haben, kann die Raumzeitinvariante wie folgt ausgedrückt werden:

$$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$ und daraus erhalten wir normalerweise: $$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$ Das liegt nicht an einer beliebigen imaginären Zeiteinheit, sondern an der Metrik ( $g_{\mu\nu}$) ist eine Diagonalmatrix mit den Koeffizienten jedes Terms der $ds^2$Gleichung: $$g_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{l}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)$$ und die Koordinaten werden so aufgelistet, wie Sie es annehmen würden: $$dx^{\mu}=\left(\begin{array}{l}cdt\\dx\\dy\\dz\end{array}\right)$$ Dann sollten Sie das beachten $$g_{\mu\nu}dx^{\mu}=dx_{\nu}=\left(\begin{array}{l}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}cdt\\dx\\dy\\dz\end{array}\right)=\left(-cdt~~dx~~dy~~dz\right)$$ Ebenfalls, $v_{\mu}v^{\mu}$ist das innere Produkt und bedeutet: $$dx_{\nu}dx^{\nu}=\left(-cdt~~dx~~dy~~dz\right)\left(\begin{array}{l}cdt\\dx\\dy\\dz\end{array}\right)=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$ Dies ist die Gleichung, die Sie wollen, ohne dass eine imaginäre Einheit weggelassen wird. Der Grund für die $-1$in dem $g_{\mu\nu}$ist, dass es das System Lorentz invariant macht; es unterhält $ds^2$als raumzeitinvariante Größe.

Lassen Sie mich historisch sein. In euklidischen 3D-Koordinaten finden Sie das Intervall zwischen Positionen als

$$\Delta d_{Eucl}^2=(X_2-X_1)^2+(Y_2-Y_1)^2+(Z_2-Z_1)^2$$ Bei Einbeziehung von Relativität und Zeit wird das Intervall zu einer Raumzeitgröße. Denn die Relativitätstheorie legt die Höchstgeschwindigkeit von Informationen fest $c$, machen wir das Intervall $$\Delta s^2=\Delta d_{Eucl}^2-c^2(t_2-t_1)^2$$ Dies stellt das ursprüngliche Intervall dar – die Entfernung zwischen den beiden Ereignissen – abzüglich der maximalen Entfernung, die die Informationen in der Zeit zwischen den beiden Ereignissen zurücklegen konnten. Dieser Unterschied lässt uns feststellen, ob die Ereignisse in einer bestimmten chronologischen Reihenfolge stattgefunden haben ( $\Delta s^2<0$) oder wenn sie an zwei deutlich voneinander getrennten Positionen aufgetreten sind ( $\Delta s^2>0$), da wir uns in der Relativitätstheorie nicht immer sicher sein können. Daraus ist die $-1$in der Metrik entsteht. Raum- und Zeitkoordinaten sind hier mit entgegengesetzten Vorzeichen versehen. Wir halten die Metrik in Bezug auf $s^2$weil wir einfach nicht sicher sein können, ob $s$positiv oder negativ ist. Es gab keine ursprüngliche imaginäre Zeitkoordinate, das war einfach eine schlechte Interpretation von jemandem und wurde (zum Glück) größtenteils fallen gelassen.

Ich sollte wahrscheinlich auch darauf hinweisen, dass die imaginäre Zeitkoordinate auch nicht aus Euklidisch 4-D kommen kann. Wenn man die Relativitätstheorie außer Acht lässt, dann gibt es keine maximale Geschwindigkeit. Wenn es keine maximale Geschwindigkeit gibt, gibt es keine natürliche Möglichkeit, räumliche und zeitliche Koordinaten gleichzusetzen. Daher wäre es nicht nur nicht richtig zu verwenden$c$in dem$ict$koordinieren, wäre es auch nicht sinnvoll, dem Raum Zeit hinzuzufügen, da es keine angenehme Umwandlung zwischen ihnen geben würde. Wenn Sie jedoch die Relativitätstheorie nicht ignorieren, müssen Sie den Zeitterm vom 3-D-Intervall abziehen, um dem Begriff einer maximalen Geschwindigkeit zu entsprechen. Also die euklidische Signatur,$(1,1,1,1)$kann nicht zur Beschreibung der 4-D-Raumzeit verwendet werden! Sie definieren die Zeitkoordinate also niemals als imaginär.

Wenn Sie definieren$x^0=ict$, dann nehme ich an man nimmt$x_\mu=x^\mu$damit die Metrik tatsächlich ist$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,1,1,1)=\delta_{\mu\nu}$, dh Sie haben es mit einer euklidischen Metrik zu tun. Dann

$$ds^2=\delta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$$ liefert das übliche Ergebnis: $$ds^2=-c^2dt^2+d\vec{x}^2$$ Die üblichen Konventionen sind wie folgt:

Option eins: Man definiert$x^\mu=(ct,\vec{x})$und$x_\mu=\eta_{\mu\nu}x^\nu=(-ct,\vec{x})$wo$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,1,1,1)$. Das führt zu

$$ds^2=-c^2dt^2+\vec{x}^2$$ Diese Konvention wird normalerweise in Behandlungen verwendet, die sich auf die (allgemeine) Relativitätstheorie und / oder die Raumzeitstruktur konzentrieren.

Option zwei: Man definiert$x^\mu=(ct,\vec{x})$und$x_\mu=\eta_{\mu\nu}x^\nu=(ct,-\vec{x})$. wo$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$. Das führt zu

$$d\tilde{s}^2=-ds^2=c^2dt^2-\vec{x}^2$$ Dieser Ansatz wird normalerweise gewählt, wenn der Fokus auf Ergebnissen der Teilchenphysik liegt. Meine persönliche Theorie ist, dass dies daran liegt, dass es in der Gleichung resultiert $p_\mu p^\mu=m^2$(im Gegensatz zu $p_\mu p^\mu=-m^2$), die eine der Hauptgleichungen in der Teilchenphysik ist und wohl etwas gefälliger aussieht als die Alternative. Wie in einem Kommentar darauf hingewiesen wurde, macht es auch zeitähnliche Intervalle positiv, was möglicherweise bevorzugt wird, wenn es um Teilchen geht (die sich natürlich immer auf zeitähnlichen oder lichtähnlichen Bahnen bewegen).

Natürlich sind die beiden Ansätze völlig gleichwertig. Die Konvention mit der imaginären Zeitkoordinate ist etwas außer Gebrauch geraten. Ich kann verstehen, warum dies passieren würde: Es ist keine besonders hilfreiche Konvention für die Intuition, noch scheint es sich gut auf die allgemeine Relativitätstheorie übertragen zu lassen.

Im Allgemeinen müssen der Ausdruck für die Metrik und der Ausdruck für die Koordinaten zusammenarbeiten, um Ihnen das richtige Linienelement zu geben. Die folgenden Kombinationen haben also alle das gleiche Linienelement$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$:

$g_{\mu\nu}=diag(1,1,1,1)$mit$x^{\mu}=(ict,x,y,z)$

oder

$g_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)$mit$x^{\mu}=(ct,x,y,z)$

oder

$g_{\mu\nu}=diag(-c^2,1,1,1)$mit$x^{\mu}=(t,x,y,z)$

Der Hauptgrund, die „ict“-Notation aufzugeben und eine der letzten beiden zu verwenden, ist, dass wir schließlich über die spezielle Relativitätstheorie hinausgehen und allgemeine Relativitätstheorie betreiben wollen. Das geht am besten mit der (Pseudo-) Riemannschen Geometrie, und die Riemannsche Geometrie erfordert reellwertige Koordinaten. Darüber hinaus ist bei Verwendung der Riemannschen Geometrie nicht einmal garantiert, dass Sie eine Zeitkoordinate haben, sodass Sie nicht sicher sein können, wo Sie das "i" platzieren müssen.

Der einzige wirkliche Grund, sich vorzustellen$ict$Koordinaten soll die Ähnlichkeit (aus didaktischen Gründen, denke ich) zwischen Lorentz-Transformation und orthogonalen Rotationen im eher an den euklidischen Raum gewöhnten Raum betonen.

Beachten Sie, dass der pseudo-euklidische Minkowski-Raum genau die "normale" euklidische Form erhält, wenn die komplexe Zeit eingeführt wird, nämlich: metrische Signatur wird$++++$: genau so, als wäre es ein regulärer euklidischer 4-Raum. Auch anschaulicher: Die Matrix der Lorentz-Transformation erhält aufgrund von genau die Form der reellen orthogonalen Matrix$\cos(ix) = \cosh x$(ähnlich bzgl$\sin x$). Sie drehen sich also um einen komplexen Winkel, aber die Matrix sieht wie eine reguläre Orthogonale aus, z. B. Boost in$x$-Richtung,

$$\left( \begin{matrix} \cos z & \sin z & 0 & 0\\ -\sin z & \cos z & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right)$$

wo$z$ist jetzt streng imaginär.

"... meine Frage ist jetzt, warum und wie (mathematisch) wir die Minkowski-Metrik-Signatur erhalten. Genauer gesagt das eine Element mit einem anderen Vorzeichen."

Nun, wenn Sie Einsteins "Relativität: Die spezielle und allgemeine Theorie" lesen, werden Sie im Anhang I (kurz vor Gleichung (10)) finden, dass Einstein einfach mit dem Satz des Pythagoras in 4D begann, den er so formulierte:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = ct$$

Dann quadrierte er beide Seiten und bewegte sich$c^2t^2$nach links das Vorzeichen wechseln. Dies gab ihm die Signatur [-, +, +, +] Offensichtlich sind Sie gleichermaßen frei, die zu verschieben$x^2 + y^2 + z^2$nach rechts, in diesem Fall erhalten Sie die Signatur umgekehrt [+, -, -, -] (anscheinend hat Minkowski das getan).

Seltsamerweise können wir aus der Tatsache, dass Einstein den Satz des Pythagoras verwendet hat, erkennen, dass er hier von Längen/Entfernungen spricht und nicht von Koordinaten (die Punkte sind), wie er sie später immer wieder nennt (und alle nach ihm). Andererseits ist es auch ohne Betrachtung der Ableitung ziemlich offensichtlich, wenn man darüber nachdenkt. Sie können Punkte (Koordinaten) einfach nicht in Infinitesimale wie dx oder dy verkleinern, da sie nicht kleiner werden können als sie bereits sind - ihre Erweiterung ist genau null. Sie können nicht auch Punkte quadrieren, um sie zu machen$x^2$,$y^2$,$z^2$. Geschrumpfter Punkt und quadratischer Punkt ist immer noch derselbe Punkt. Gleichzeitig wird ds das „Linienelement“ genannt (Einstein nannte es auch „lineares Element“). Die Linie suggeriert eine Entfernung oder Länge und keinen Punkt (oder eine Koordinate für diese Angelegenheit), nicht wahr?

Übrigens impliziert diese Gleichung, dass die Zeit orthogonal zu x, y, z „wandert“. Sicher, wir zeichnen t zum Beispiel orthogonal zu x, um verschiedene Funktionen wie Beschleunigung besser zu visualisieren. Aber wenn wir beobachten, dass physische Dinge wie ein Auto beschleunigen, ohne die Richtung zu ändern, „zeichnen“ sie keine Hiperbole im Raum, oder?

Jemand hat mir folgendes nettes Bild geschenkt, das danach immer hängen geblieben ist:

An diesem Punkt wurde eine Lichtquelle im Vakuum eingeschaltet$(x_0,y_0,z_0)$zum Zeitpunkt$t_0$bildet eine mit Lichtgeschwindigkeit wachsende Kugel mit Radius$r = c (t-t_0)$. Die Gleichung für die Kugel für$x = x(t)$,$y = y(t)$,$z = z(t)$ist

$$r^2 = c^2(t-t_0)^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2.$$

In den unendlich kleinen Grenzen$t \to t_0$,$x \to x_0$, etc...:

$$d(ct)^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2.$$

Umschreiben als

$$0 = - d(ct)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \qquad \textrm{ or } \qquad 0 = d(ct)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

zeigt, woher das relative Vorzeichen kommt, und veranschaulicht auch, warum$\eta^{\mu \nu }=\textrm{diag}(-1,1,1,1)$(erster Fall) bzw$\eta^{\mu \nu} = \textrm{diag}(1,-1,-1,-1)$(zweiter Fall) ist in Ordnung.

Da dies für lichtähnliche getrennte Ereignisse gilt (dh die Wellenfront einer tatsächlichen Lichtwelle), ist die Null eigentlich das Intervall. Das bringt mich normalerweise nur in Schwierigkeiten, weil ich mich daran erinnere, welches das richtige Zeichen für das Raumzeitintervall ist. Stellt sich heraus, es ist

$$ds^2 = - d(ct)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

was Sie wahrscheinlich bekommen können, indem Sie die richtige Entfernung benötigen, ist eine reelle Zahl:

$$d\sigma = \sqrt{ds^2} = \sqrt{- d(ct)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2} .$$

Hier ist ein Argument, das im Wesentlichen auf Bondi zurückzuführen ist.
Physikalisch motiviert ist es durch Radarmessungen.

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Zunächst eine Einführung in den k-Kalkül von Bondi . (Dies basiert auf einem Diagramm aus Bondis „E=mc2: An Introduction to Relativity“ ( http://www.worldcat.org/title/emc2-an-introduction-to-relativity/oclc/156217827 ), das Bondis beigefügt war Vortragsreihe „E=mc2: Thinking Relativity Through“, eine Reihe von zehn Vorträgen im BBC-Fernsehen vom 5. Okt. bis 7. Dez. 1963. Sie enthielt einen Tippfehler, den ich korrigierte.)

Zwei Trägheitsbeobachter (Bondi wird anrufen) Alfred und Brian treffen sich bei Ereignis O.

Alfred führt eine Radarmessung durch, um Ereignis P auf Brians Weltlinie Koordinaten zuzuweisen.

Nach einer Weile$T$Auf Alfreds Armbanduhr sendet er ein Lichtsignal an Brian. Brian empfängt das Signal auf einmal$kT$auf Brians Uhr (Ereignis P), wo$k$ist eine Proportionalitätskonstante (unabhängig von$T$). [Dies$k$entpuppt sich als Dopplerfaktor].

Wenn dieses Lichtsignal von Brians Weltlinie reflektiert wird (bei Ereignis P), kommt das reflektierte Signal zurück an Alfreds Weltlinie, wenn Alfreds Uhr anzeigt$k(kT)$, wobei der gleiche Faktor von$k$wird wegen des Relativitätsprinzips verwendet. (Wir haben auch verwendet, dass die Lichtgeschwindigkeit für diese Beobachter gleich ist.)
[Nebenbemerkung: Diese beiden Dreiecke mit zwei zeitähnlichen Beinen und einem lichtähnlichen Bein sind in der Minkowski-Raumzeit ähnlich.]

Also kann Alfred dem entfernten Ereignis P (Verschiebungen von Ereignis O) eine Zeitkoordinate und eine Raumkoordinate zuweisen:

$$\Delta t_{P}=(\mbox{half of the elapsed time})=\frac{t_{rec}+t_{send}}{2}=\frac{k^2T+T}{2}$$ $$\Delta x_{P}=(\mbox{half of the roundtrip distance})=c\frac{t_{rec}-t_{send}}{2}=c\frac{k^2T-T}{2}.$$

Durch Teilung kann man bekommen$\quad v_{BA}=\displaystyle\frac{\Delta x_P}{\Delta t_P}=\frac{k^2-1}{k^2+1}\quad$(unabhängig von$T$),
nach der aufgelöst werden kann$k$um die Dopplerformel zu erhalten.

Beachten Sie, dass
durch Ergänzung:$\quad \Delta t_{P}+(1/c)\Delta x_{P}=t_{rec}\quad$, und
durch Subtraktion:$\Delta t_{P}-(1/c)\Delta x_{P}=t_{send}$.

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Stellen Sie sich nun zwei Trägheitsbeobachter vor, die Radarmessungen durchführen und einem entfernten Ereignis (nennen Sie es Q) Koordinaten zuweisen.

Jeder Beobachter sendet ein Lichtsignal und wartet darauf, dass sein Echo empfangen wird, wobei er seine Armbanduhr bei diesen beiden Ereignissen auf seiner Weltlinie notiert. (Geometrisch haben wir den Lichtkegel von Q, der die beiden Trägheitsweltlinien schneidet, die sich bei Ereignis O trafen.)

[Nebenbemerkung: Obwohl es nicht notwendig ist, könnte Ereignis Q auf der Weltlinie eines dritten Beobachters sein (nennen Sie sie Carol). Dann wären diese Radarmessungen mit einzubeziehen$k_{CB}$und$k_{CA}$, in Bezug auf Carol und Brian und Carol und Alfred.
Das "$k$" oben im ersten Teil verwendet und im folgenden Teil aufgerufen werden könnte$k_{BA}$um Brian und Alfred zu erzählen.]

(Das Diagramm stammt aus Bondis „Relativity and Common Sense“.)

Ihre Armbanduhr-Lesungen sind verwandt mit

$$\left( \Delta t_Q' - \frac{\Delta x_Q'}{c}\right) = k\left( \Delta t_Q - \frac{\Delta x_Q}{c} \right)$$ und $$\left( \Delta t_Q' + \frac{\Delta x_Q'}{c}\right) = \frac{1}{k}\left( \Delta t_Q + \frac{\Delta x_Q}{c} \right)$$

Durch Multiplikation erhalten wir folgende Gleichung:

$$\left({\bf \mbox{invariant square interval}}\right)=\left( \Delta t_Q'^2 - \frac{\Delta x_Q'^2}{c^2}\right) =\left( \Delta t_Q^2 - \frac{\Delta x_Q^2}{c^2}\right),$$ mit seinem Minuszeichen vor der Ortskoordinate.
(Dies "das invariante quadratische Intervall" und nicht "minus das invariante quadratische Intervall" zu nennen, ist die Wahl der Vorzeichenkonvention.)

(Nebenbemerkung: Durch Addition und Subtraktion erhält man die Lorentz-Transformationen.)

Der Grund, warum diese Methode funktioniert, ist, dass wir in der Eigenbasis der Lorentz-Transformation arbeiten, wo die lichtähnlichen Richtungen die Eigenvektoren und der Dopplerfaktor und sein Kehrwert die Eigenwerte sind.

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Dies basiert auf einem Blogeintrag, den ich hier beigetragen habe
https://www.physicsforums.com/insights/relativity-using-bondi-k-calculus/

Seit$g_{μυ}=\vec{e_{μ}} \cdot \vec{e_{υ}}$,$g_{00}=\vec{e_{0}} \cdot \vec{e_{0}}$, Und$\begin{pmatrix} ds\end{pmatrix}^{2}=g_{μυ}x_{μ}x_{υ}=-(ct)^{2}+x^{2}+...$;
Wenn:$g_{μυ}=\begin{pmatrix} ict\\x\\y\\z\end{pmatrix}$.ist dann ein kartesisches Koordinatensystem$\vec{r}=ict \cdot \vec{ict} +x \cdot \vec{x} ...$,$g_{00}=\vec{e_{0}} \cdot \vec{e_{0}}=\vec{ict} \cdot \vec{ict}=1$;

Also rein$g_{μυ}=\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}$.$\frac{∂r}{∂\begin{pmatrix} ct\end{pmatrix}}=i\cdot \vec{ict}=\vec{e_{0}}$, also sein krummliniges Koordinatensystem und dann$g_{00}=-1$;

Auch gleich in$g_{μυ}=\begin{pmatrix} t\\x\\y\\z\end{pmatrix}$.$\frac{∂r}{∂t}=ic\cdot \vec{ict}=\vec{e_{0}}$(sein krummliniges Koordinatensystem und auch), dann$g_{00}=-c^{2}$.

Wikipedia deckt dieses Thema ausreichend ab https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space#Metric_signature

Ich zitiere: „Im Allgemeinen, aber mit einigen Ausnahmen, bevorzugen Mathematiker und allgemeine Relativisten raumähnliche Vektoren, um ein positives Vorzeichen zu erhalten, (− + + +), während Teilchenphysiker dazu neigen, zeitähnliche Vektoren zu bevorzugen, um ein positives Vorzeichen zu liefern, (+ − − −)." „Argumente für“ (− + + +) „umfassen „Kontinuität“ aus dem euklidischen Fall, der der nicht-relativistischen Grenze entspricht$c \rightarrow \infty$". Es gibt viele Gründe, lieber (− + + +) zu verwenden, zum Beispiel vierstufig zu werden$(−c\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$. Die Verwendung einer Signatur über eine andere ist nur eine Frage der Wahl und Bequemlichkeit.