Ist es in Ordnung, Wick zu drehen, um das Negative der euklidischen Metrik zu erhalten? Könnten wir die raumähnlichen Koordinaten stattdessen auch imaginär machen?

Meine Frage besteht aus 2 Teilen:

1) Angenommen, wir wählen die metrische Signatur als (-+++), wie auf der Wikipedia- Seite. Dann wird das invariante Intervall im Minkowski-Raum geschrieben:

$ds^{2} = -(dt^{2}) + dx^{2} + dy^{2} + dz^2$

Nehmen$t=-i\tau$gibt:

$ds^{2} = d\tau^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^2$

was nur das euklidische invariante Intervall ist. Das klappt sehr schön.

Beachten Sie jedoch die von Peskin und Schroeder in ihrem Buch ("An Introduction to Quantum Field Theory") verwendeten Konventionen. Sie verwenden die metrische Signatur (+---) (Seite xix, in "Notations and Conventions"). Auf Seite 193 führen sie eine Wick-Rotation auf einer linearen Kombination von Impulsen (definiert auf Seite 191) namens "$l$". Bei ihrer Transformation nehmen sie die nullte Komponente$l^{0} = il^{0}_{E}$, wobei es auf der linken Seite Minkowski-Formalismus und auf der rechten Seite Euklidisch ist. Unter Verwendung dieser Vorschrift hätten wir für das unveränderliche Intervall$t=i\tau$, also das Minkowski-Intervall:

$ds^{2} = dt^{2} - (dx^{2}) - (dy^{2}) - (dz^2)$

würde werden:

$ds^{2} = -(d\tau^{2}) - (dx^{2}) - (dy^{2}) - (dz^2)$

Die erste Frage lautet also:

Ist es ein Problem, dass das Ergebnis hier ein Negativ dessen ist, was wir normalerweise für das euklidische invariante Intervall verwenden würden?

Meine Vermutung ist, dass es keine Rolle spielt, aber es wäre schön, eine Bestätigung dafür zu bekommen.

2) Wenn wir bereit sind zu akzeptieren, dass negative Versionen des euklidischen Intervalls in Ordnung sind, könnten wir unsere Wick-Rotation nicht auch auf andere Weise definieren?

Nehmen Sie zum Beispiel die erste Minkowski-Metrik-Signatur (-+++), so dass:

$ds^{2} = -(dt^{2}) + dx^{2} + dy^{2} + dz^2$

Ist etwas falsch daran, unsere Wick-Rotation als zu definieren?$t=\tau$,$x^{1} = ix^{1}$,$x^{2} = ix^{2}$, Und$x^{3} = ix^{3}$, so dass wir für das euklidische invariante Intervall erhalten:

$ds^{2} = -(d\tau^{2}) - (dx^{2}) - (dy^{2}) - (dz^2)$

Natürlich könnte dieselbe Wick-Rotation auf das invariante Minkowski-Intervall angewendet werden, das die metrische Signatur (+---) verwendet:

$ds^{2} = dt^{2} - (dx^{2}) - (dy^{2}) - (dz^2)$

um das ursprüngliche (nicht negative) euklidische invariante Intervall zu erhalten:

$ds^{2} = d\tau^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^2$

Beide Methoden der Wick-Rotation (die zeitähnliche Koordinate imaginär machen oder die raumähnlichen Komponenten imaginär machen) erscheinen mir praktikabel. Es ist vielleicht bequemer, die zeitähnlichen Komponenten zu ändern, da dies weniger Algebra erfordert. Wenn wir zum Beispiel die raumartigen Komponenten imaginär machen, ein Integral über den Minkowski-Raum$\int d^{d}x = \int dx^{0}, dx^{1},..., dx^{d}$würde entweder ein i, -1, -i oder 1 davor erhalten, wenn wir Wick rotieren, je nachdem, mit wie vielen räumlichen Koordinaten wir arbeiten.

Mein Dank für jegliches Feedback.