Wo kommt das Minuszeichen im metrischen Tensor vor?

Wenn Sie versuchen, Schutzs AFCIGR zu verstehen, woher kommt das Minuszeichen im metrischen Tensor?

metrisch

Ich verstehe, dass dies die Invarianz des Raumzeitintervalls ausdrückt. Schutz sagt (glaube ich), dass die Metrik ein (0,2)-Tensor ist. Ich nehme an, das bedeutet, dass es das Produkt zweier Eins-Formen ist, also hat vermutlich eine dieser Eins-Formen eine -ve-Zeitkomponente. Was bedeutet das? Warum haben nicht beide Einsformen eine -ve-Zeitkomponente? Wenn Sie sich ein Minkowski-Diagramm ansehen, wie können Sie diese Eins-Formen auf einfache Weise verstehen / visualisieren? Auf meiner Ebene wurden zwei Dinge miteinander multipliziert, um eine 4x4-Matrix zu erhalten, die -1 in der oberen linken Ecke hat. Was sind diese beiden Dinge und warum geben sie eine Zeitkomponente von -1?

Ein Kommentar zur Frage (v1): Beachten Sie, dass im Allgemeinen (und tatsächlich auch in dem genannten speziellen Fall) a ( 0 , 2 ) Tensor ist nicht immer ein Produkt von Co-Vektoren. Stattdessen ist es eine Summe von Produkten von Co-Vektoren. (Im konkreten Fall enthält die Summe mind 4 Bedingungen.) Tatsächlich gilt dasselbe, wenn die − 1 war ein + 1 .

Antworten (2)

Die Metrik ist eine symmetrische bilineare Form

D S 2 = η ich J D X ich D X J = − D T 2 + D X 2 + D j 2 + D z 2
Daher ist das Minuszeichen keine Eigenschaft der Einsformen D X ich sondern von den Koeffizienten η ich J

Danke dafür, aber ich verstehe immer noch nicht, woher das Minuszeichen kommt.
@ user4075: Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, was Sie mit "woher das Minuszeichen kommt" meinen. In SR ist die Raumzeit ein flacher Raum mit einer Signaturmetrik (-+++), mehr oder weniger per Definition. Es gibt natürlich andere Möglichkeiten, dasselbe zu sagen, z. B. ist die Isometriegruppe SO (3,1), aber ich glaube nicht, dass dies Ihre Frage beantwortet, oder?
Olaf: Ich gebe gerne zu, dass ich hier überfordert bin (z. B. weiß ich nicht, was eine „symmetrische bilineare Form“ ist, und ich habe immer noch mit Eins-Formen zu kämpfen). Ich nahm (fälschlicherweise - danke Qmechanic) an, dass ein (0,2)-Tensor immer das Produkt zweier Einsformen ist, und nahm daher an, dass dies erklären könnte, warum die Metrik ein Minuszeichen enthält. Wikipedia (Einführung in die spezielle Relativitätstheorie) sagt: "Minkowski ... fand heraus, dass die richtige Formel eigentlich ganz einfach war und sich nur durch ein Zeichen vom Satz des Pythagoras unterschied." Also gehe ich davon aus, dass er irgendwie entdeckt hat, dass es funktioniert.

Obwohl man sich die Metrik als unendlich kleine Entfernungen vorstellen kann, kann man sie sich auch in doppelter Hinsicht als Differentialgleichungen vorstellen. Mit Ihrer Vorzeichenkonvention für die Metrik ist die Wellengleichung also

G ich J ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ X ich ∂ X J = − ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ T ∂ T + ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ X ∂ X + ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ j ∂ j + ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ z ∂ z = 0.
In diesem POV bestimmt die Metrik die Differentialgleichungen, die von den Feldern erfüllt werden, die in die Raumzeit eingeführt werden. Die Laplace-Gleichung hat ganz andere Eigenschaften als die Wellengleichung.

Es gibt Formalismen, in denen d T wird durch id ersetzt T , sodass die Metrik gleichmäßig positiv sein kann. Die meisten Menschen halten dies jedoch für einen mathematischen Trick im Ärmel, nicht für einen grundlegenden Teil der Konstruktion einer Theorie. Es gab eine Zeit in der Entwicklung von GR, in der die imaginäre Zeit viel häufiger verwendet wurde als heute.

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