Konventionen für Metriksignaturen: Minuszeichen für xaxax^a oder xaxax_a?

Wenn Sie einen freien Index durch einen bestimmten ersetzen, werden im Allgemeinen keine Zeichen eingeführt:

$$\begin{align} \partial_a & \to (\partial_0, \partial_i) \\ \partial^a & \to (\partial^0, \partial^i). \end{align}$$ Dies gilt für alle Signaturen. (Nebenbei bemerkt, ich bin pedantisch, wenn ich " $=$„ Zeichen aus einem bestimmten Grund – ein Tensor ist nicht gleich einer einzelnen, wenn auch nicht spezifizierten Komponente seiner selbst.)

Die einzige Frage ist dann die Beziehung zwischen$\partial_0$Und$\partial^0$, und dazwischen$\partial_i$Und$\partial^i$. Im Allgemeinen, wieder ohne Rücksicht auf die Unterschrift, haben wir

$$\begin{align} \partial_a & = g_{ab} \partial^b \\ \partial^a & = g^{ab} \partial_b. \end{align}$$ In der speziellen Relativitätstheorie $g_{ab} = \eta_{ab}$Und $g^{ab} = \eta^{ab}$, wo wir uns jetzt zum Abschluss noch auf eine Unterschrift einigen müssen $$\begin{align} \partial_0 & = -\partial^0 & \partial_i & = \partial^i \\ \partial^0 & = -\partial_0 & \partial^i & = \partial_i. \end{align}$$

Eigentlich bedeutet Ihre Sorge, wo Sie die Schilder anbringen sollen, dass Sie ein Extra hinzugefügt haben. Tatsächlich haben wir

$$x^a p_a = x^0 p_0 + x^1 p_1 + x^2 p_2 + x^3 p_3.$$ Das ist genau das gleiche wie $$x_a p^a = x_0 p^0 + x_1 p^1 + x_2 p^2 + x_3 p^3.$$ Das obige gilt in GR in jeder Signatur. Wenn Sie in SR sind und die haben $(-,+,+,+)$Unterschrift, dann kannst du schreiben $$x^a p_a = -x^0 p^0 + x^1 p^1 + x^2 p^2 + x^3 p^3$$ oder $$x^a p_a = -x_0 p_0 + x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3.$$ Beachten Sie, dass der negative Begriff nur eintritt, wenn Sie darauf bestehen, für beide dieselben Indizes (entweder obere oder untere) zu verwenden $x$Und $p$. Beachten Sie auch, dass diese beiden Formeln nur in SR gelten, wo der Austausch von Indizes im schlimmsten Fall zu einem negativen Ergebnis führte. Allgemein, $$x^a p_a = g_{ab} x^a p^b,$$ was haben kann $16$Bedingungen in der Summe.

Unter Verwendung Ihrer Metriksignatur lautet die Metrik:

$$\eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$$

Der generische Positionsvektor ist definiert als (kartesisch)

$$x^{\mu}=\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix}$$ Und die Menge $x_{\mu}=\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$. Das sieht man also $x_\mu$wird zu dem mit einem Minuszeichen $x_0$.

Dann ist die Ableitung definiert als:

$$\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$ Das sieht man also $\partial_0=\frac{\partial}{\partial t}$ist positiv. Wenn Sie die Metrik anwenden, $$\partial^\mu=\eta^{\mu\nu}\partial_\nu=\eta^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}=\frac{\partial}{\partial x_\mu}$$ und somit $\partial^0$wird negativ.

Um Ihre Frage zu beantworten, ja, die Konvention gilt. Das Ändern eines hochgestellten in einen tiefgestellten Index erfolgt durch Anwenden der Metrik.$A_a=\eta_{ab}A^b$Und$A^a=\eta^{ab}A_b$Und$\eta^{ab}\eta_{ab}=4$.

Ja, das tut es tatsächlich.

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Haben Sie vielleicht einen Mathematikkurs über Metrische Räume besucht ?

Ein metrischer Raum ist grob gesagt etwas, wo wir eine Vorstellung davon haben, wie man Dinge misst.

So ist zum Beispiel der euklidische Raum ein sehr vertrauter Raum, man misst das Quadrat des Betrags eines Vektors zu sein

$$\vec{x} \cdot \vec{x} = (x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2$$

Dies könnte auch unter Verwendung einer Metrik als geschrieben werden

$$\vec{x} \cdot \vec{x} = g_{ij} x^i x^j$$

Wo$i = 1,2,3$Und$j = 1,2,3$. Hier verwende ich die Einstein Summation Convention , so dass$g_{ij} x^i x^j$mit dem$i$Und$j$so wiederholt, ein oberes und ein unteres, ist eine Abkürzung für

$$g_{ij} x^i x^j = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 g_{ij} x^i x^j$$

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Also unsere Metrik,$g_{ij}$ist nur

$$g_{ij} = \mbox{diag}(+1,+1,+1)$$

das ist wenn$i=j$wir bekommen$g_{ii} = + 1$, während wenn$i \neq j$wir bekommen null,$g_{ij}\vert_{i\neq j} =0$.

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Das sehen Sie dann beim Erhöhen und Senken von Indizes mit der Metrik like

$$x^i = g^{ij} x_j \quad \mbox{ or } \quad x_i = g_{ij} x^j$$

Das ist der Erhabene$x^i$und der abgesenkte$x_j$sind die gleichen, da die$g_{ij}$sind jeweils gerecht$+1$.

Das war also schön und einfach.

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Wenn wir uns jetzt für die Spezielle Relativitätstheorie in den Minkowski-Raum bewegen , wird es etwas komplizierter. Die metrischen Komponenten (das Äquivalent der$g_{ij}$) sind nicht mehr alle$+1$. Wir verwenden normalerweise$\eta^{\mu \nu}$für die Minkowski-Raum-Metrik, wo

$$\eta^{\mu \nu} = \mbox{diag}(-1,+1,+1,+1)$$

in Ihrem Kongress. (Es sollte beachtet werden, dass nicht jeder denselben Satz von +1 und -1 verwendet, also sollten Sie dies immer überprüfen und sicherstellen. Es kann sehr frustrierend sein, wenn etwas nicht funktioniert, weil der andere Typ ein anderes Zeichen verwendet hat !).

Wie auch immer, ein Vektor, wie$A^{\mu}$wie Sie fragen, kann mit dem metrischen Tensor wie gesenkt werden

$$A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu}$$

Also seit Definition

$$A_{\mu} = (A^0, A^i)$$

wenn wir den Index senken, erhalten wir

$$A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = (g_{0 \nu} A^{\nu}, g_{i \nu} A^{\nu}) = \left( \sum_{\nu = 0}^3 g_{0 \nu} A^{\nu}, \sum_{\nu = 0}^3 g_{i \nu} A^{\nu} \right)$$

Aber da alle$g_{\mu \nu}$Null sind, wenn$\mu \neq \nu$, die einzigen in der Summe, die nicht Null sind

$$A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = (g_{0 0} A^{0}, g_{i i} A^{i})$$

und das wissen wir aus der obigen Definition unseres metrischen Tensors, nämlich

$$A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = ((-1) A^{0}, (+1) A^{i}) = (-A^{0}, A^{i})$$

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Sie können den metrischen Tensor verwenden, um jeden Index zu erhöhen und zu verringern, wie zum Beispiel

$$T_{\mu \nu \rho}^{\; \; \; \; \sigma} = g_{\mu \alpha} g_{\nu \beta} g^{\sigma \gamma} T^{\alpha \beta}_{\; \; \; \rho \gamma}$$