Zur Ableitung des Viererimpulses nach Landau-Lifshitz

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Zur Ableitung des Viererimpulses nach Landau-Lifshitz

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Ich studiere gerade den neunten Abschnitt von The Classical Theory of Fields von Landau & Lifshitz, wo sie den Viererimpuls durch das Prinzip der kleinsten Wirkung einführen. Ich kann die Ableitung bis zu dem Punkt verstehen, an dem sie sagen (ich werde griechische Indizes anstelle der lateinischen im Buch verwenden)

\begin{matrix} (9.11) & δ S = - M C η_{μ v} u^{v} δ X^{μ} . \end{matrix}

$\begin{equation*} \delta S=-mc\eta_{\mu\nu}u^\nu\delta x^\mu. \tag{9.11} \end{equation*}$ Nun, hier ist mein Zweifel: Das weiß ich

δ S = \frac{\partial S}{\partial X^{μ}} δ X^{μ},

$\begin{equation*} \delta S=\frac{\partial S}{\partial x^\mu}\delta x^\mu, \end{equation*}$ woraus wir das entnehmen

\frac{\partial S}{\partial X^{μ}} = - M C u_{μ},

$\begin{equation*} \frac{\partial S}{\partial x^\mu}=-mc u_\mu, \end{equation*}$ aber jetzt sagt L&L das

\begin{matrix} (9.12) & P_{μ} = - \frac{\partial S}{\partial X^{μ}} \end{matrix}

$\begin{equation*} p_\mu~=~\color{red}{-}\frac{\partial S}{\partial x^\mu} \tag{9.12} \end{equation*}$ ist der Vierer-Impuls. In ihrem Mechanics- Buch wird jedoch der kanonische Impuls von der Aktion als abgeleitet

\begin{matrix} (43.3) & P_{ich} = + \frac{\partial S}{\partial Q^{ich}}, \end{matrix}

$\begin{equation*} p_i~=~\color{red}{+}\frac{\partial S}{\partial q^i}, \tag{43.3} \end{equation*}$ Woher kommt das Minuszeichen? Ich dachte, dass die kanonischen Koordinaten

q^{i}

$q^i$ entsprach der kontravarianten Raumzeit

x^{μ}

$x^\mu$ Koordinaten, dh

(c t, q^{1}, q^{2}, q^{3}) \leftrightarrow (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})

$(ct,q^1,q^2,q^3)\leftrightarrow(x^0,x^1,x^2,x^3)$ . Dies würde das bedeuten

\frac{\partial S}{\partial T} = C \frac{\partial S}{\partial X^{0}} Und \frac{\partial S}{\partial Q^{ich}} = \frac{\partial S}{\partial X^{ich}} (ich = 1, 2, 3)

$\begin{equation*} \frac{\partial S}{\partial t}=c\frac{\partial S}{\partial x^0} \quad\text{and}\quad \frac{\partial S}{\partial q^i}=\frac{\partial S}{\partial x^i} \quad (i=1,2,3) \end{equation*}$ aber das bedeutet, dass meine Ergebnisse ein falsches Vorzeichen haben. Also frage ich dich, wo ist mein Fehler ?

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QMechaniker · Answer 1

TL;DR: Das Minuszeichen kommt von den Minkowski-Zeichenkonventionen.

Ref. 1 verwendet nur die Minkowski-Signaturkonvention $(+, -, -, -)$ , aber wir werden beide Konventionen zur Referenz/Klarheit zeigen. Lassen Sie uns auch setzen $c=1$ der Einfachheit halber. Ref. 1 definiert den metrischen Tensor
$\begin{matrix} (6.5) & G_{μ v} = D ich A G (\mp 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1), \end{matrix}$ $g_{\mu\nu}~=~{\rm diag} (\mp 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1) ,\tag{6.5}$ Die $4$ -Geschwindigkeit $\begin{matrix} (7.1/2) & u^{μ} := \frac{D X^{μ}}{D τ} = γ \frac{D X^{μ}}{D T}, \frac{D X^{μ}}{D T} = (1, v), \end{matrix}$ $u^{\mu}~:=~\frac{dx^{\mu}}{d\tau}~=~\gamma\frac{dx^{\mu}}{dt}, \qquad \frac{dx^{\mu}}{dt}~=~(1,{\bf v}), \tag{7.1/2}$ $\begin{matrix} (7.1b) & \frac{D τ}{D T} = \frac{1}{γ} = \sqrt{\mp G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D T} \frac{D X^{v}}{D T}} = \sqrt{1 - v^{2}}, \end{matrix}$ $\frac{d\tau}{dt}~=~\frac{1}{\gamma} ~=~\sqrt{ \mp g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{dt}\frac{dx^{\nu}}{dt} } ~=~\sqrt{1-v^2}, \tag{7.1b}$ die Off-Shell-Aktion funktional $\begin{matrix} (8.1) & \begin{aligned} S [X] = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L \\ = & - M_{0} \int_{λ_{ich}}^{λ_{F}} D λ \sqrt{\mp G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D λ} \frac{D X^{v}}{D λ}} \\ = & - M_{0} Δ τ, \\ Δ τ := & τ_{F} - τ_{ich}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S[x]~=~&\int_{t_i}^{t_f} \! dt~ L\cr ~=~& -m_0\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \! d\lambda~\sqrt{ \mp g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda} }\cr ~=~&-m_0 \Delta \tau, \cr \Delta \tau~:=~&\tau_f-\tau_i,\end{align}\tag{8.1}$ und der Lagrange $\begin{matrix} (8.2) & L = - \frac{M_{0}}{γ} . \end{matrix}$ $L~=~-\frac{m_0}{\gamma}. \tag{8.2}$ Wir sollten darauf hinweisen, dass die Gesamtnormierung der Lagrangefunktion (8.2) nicht willkürlich ist, sondern aus der Notwendigkeit folgt, die korrekte nichtrelativistische Formel zu reproduzieren $L = \frac{1}{2} M_{0} v^{2} - (Ruhe Energie) + Ö (v^{4}) für v := | v | ≪ 1.$ $L~=~\frac{1}{2}m_0v^2 -(\text{rest energy})+ {\cal O}(v^4)\qquad\text{for}\qquad v~:=~|{\bf v}|~\ll~ 1.$
Ref. 1 kommt zu dem Schluss, dass die Dirichlet-On-Shell-Aktionsfunktion $S(x_f,x_i)$ erfüllt
$\begin{aligned} δ S \overset{(8.1)}{=} & \pm M_{0} \int_{λ_{ich}}^{λ_{F}} D λ \frac{G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D λ} \frac{D δ X^{v}}{D λ}}{\sqrt{\mp G_{ρ σ} \frac{D X^{ρ}}{D λ} \frac{D X^{σ}}{D λ}}} \\ = & \pm M_{0} \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T u_{μ} \frac{D δ X^{μ}}{D T} \\ (9.10) & \overset{int. nach Teilen}{=} & \pm M_{0} {[u_{μ} δ X^{μ}]}_{T = T_{ich}}^{T = T_{F}} \mp M_{0} \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T \underset{EOM}{\underset{⏟}{\frac{D u_{μ}}{D T}}} δ X^{μ} \\ (9.11) & \overset{EOM}{\approx} & \pm M_{0} (u_{μ}^{F} δ X_{F}^{μ} - u_{μ}^{ich} δ X_{ich}^{μ}), \\ u_{μ} := & G_{μ v} u^{v}, \end{aligned}$ $\begin{align} \delta S ~\stackrel{(8.1)}{=}~~~& \pm m_0\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \! d\lambda~\frac{g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{d\delta x^{\nu}}{d\lambda}}{\sqrt{ \mp g_{\rho\sigma}\frac{dx^{\rho}}{d\lambda}\frac{dx^{\sigma}}{d\lambda} }}\cr ~=~~~~&\pm m_0\int_{t_i}^{t_f} \! dt~u_{\mu}\frac{d\delta x^{\mu}}{dt} \cr ~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}& \pm m_0 \left[ u_{\mu} ~ \delta x^{\mu}\right]_{t=t_i}^{t=t_f} ~\mp m_0\int_{t_i}^{t_f} \! dt~\underbrace{\frac{du_{\mu}}{dt}}_{\text{EOM}}~ \delta x^{\mu} \tag{9.10} \cr ~\stackrel{\text{EOM}}{\approx}~~&\pm m_0 \left( u_{\mu}^f ~ \delta x^{\mu}_f - u_{\mu}^i ~\delta x^{\mu}_i\right), \tag{9.11} \cr u_{\mu}~:=~~~~&g_{\mu\nu} u^{\nu}, \end{align}$ vgl. zB meine Phys.SE antwortet hier & hier . [Hier das $\approx$ Symbol bedeutet Gleichheit modulo EOM. Die Wörter On-Shell und Off-Shell beziehen sich darauf, ob EOM zufrieden sind oder nicht.]
Bisher gab es keinen Platz für unterschiedliche Konventionen. An dieser Stelle Ref. 1 wählt die Kontravariante $4$ - Schwung zu sein
$\begin{matrix} (9.13/14) & (E, P) = P^{μ} = M_{0} u^{μ}, \end{matrix}$ $(E,{\bf p}) ~=~p^{\mu}~=~m_0 u^{\mu}, \tag{9.13/14}$ was bedeutet, dass die Kovariante $4$ -Impuls lautet dann $(\mp E, \pm P) = P_{μ} = M_{0} u_{μ} .$ $(\mp E,\pm {\bf p}) ~=~p_{\mu}~=~m_0 u_{\mu}.$
Für Gl. (9.11) & (9.13/14) beide gelten, müssen wir dann definieren
$\begin{matrix} (9.1) & P := \frac{\partial L}{\partial v}, \end{matrix}$ ${\bf p}~:=~ \frac{\partial L}{\partial {\bf v}},\tag{9.1}$ $\begin{matrix} (9.12) & P_{μ}^{F} := \pm \frac{\partial S}{\partial X_{F}^{μ}}, \end{matrix}$ $p^f_{\mu}~:=~\color{red}{\pm} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}_f}, \tag{9.12}$ $P_{μ}^{ich} := \mp \frac{\partial S}{\partial X_{ich}^{μ}} .$ $p^i_{\mu}~:=~\mp \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}_i}.$

Verweise:

LD Landau & EM Lifshitz, Bd.2, Die klassische Feldtheorie, $\S$ 9.

Oh, vielleicht habe ich meinen Fehler verstanden: wenn $p_\mu=-\frac{\partial S}{\partial x^\mu}$ , Dann $p^i=\frac{\partial S}{\partial x^i}$ für $i=1,2,3$ Und $p^0=-\frac{\partial S}{\partial x^0}$ und alles checkt aus, wie ich wollte. Ist das richtig?
Es tut mir leid, aber ich habe noch einen weiteren Zweifel: Warum kann L&L wählen , wie die kontravarianten Komponenten des Vierer-Impulses aussehen? Vielleicht könnten wir das Vorzeichen der räumlichen Komponenten so wählen, dass z $v/c\ll 1$ sie reduzieren sich auf ein nicht-relativistisches Momentum. Aber was ist mit der Zeitkomponente?

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