Warum sind Lagrange-Dichten und -Aktionen in der Quantenfeldtheorie immer Lorentz-invariant?

Tatsächlich ist die Lagrangedichte für die Newtonsche Mechanik eine Gallilesche Invariante. Während es sich unter einem winzigen Schub "ändert".$x \mapsto x + \epsilon t$, ändert sie sich um eine Gesamtzeitableitung. Wenn sich ein Lagrange-Operator bei einer Transformation um eine totale Ableitung ändert, sagen wir immer noch, dass der Lagrange-Operator „invariant“ ist, weil das Hinzufügen einer totalen Ableitung zu einem Lagrange-Operator seine Dynamik nicht ändert.

Ebenso ist die Lagrange-Dichte in der Feldtheorie unter einer Lorentz-Transformation ähnlich invariant, weil sie sich ebenfalls um eine totale Ableitung ändert. (Dies wird normalerweise in Einführungsvorlesungen nicht besprochen, da dort Koordinatenänderungen vorgenommen werden, die diese Tatsache verbergen.) Genau wie im Beispiel der Newtonschen Mechanik wirkt sich die Änderung um eine totale Ableitung nicht auf die Dynamik aus. Mit anderen Worten, wenn sich die Lagrange-Funktion durch eine totale Ableitung unter winzigen Lorentz-Transformationen ändert, dann wissen Sie, dass die Lorentz-Transformation einer Lösung der Bewegungsgleichungen selbst immer noch eine Lösung der Bewegungsgleichungen ist.

Ihr Punkt ist im Wesentlichen das, während wir erkennen$\tfrac12m\dot{x}^2-V(x)$Änderungen unter$x\mapsto x+vt$, interessiert an$\tfrac12\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-V(\phi)$hängt von seiner Invarianz unter Lorentz-Transformationen ab$x^\mu$. (Lassen Sie uns vorerst nicht zu ausgefeilteren Alternativen für beide gehen.) Der Vergleich hier ist jedoch fehlerhaft, und das Problem ist nicht, dass die galiläische Invarianz ungenau ist; Wir könnten die erste Lagrange-Funktion durch eine relativistische Alternative ersetzen, und das würde nicht den Punkt ansprechen, den ich gleich ansprechen werde.

Worauf Sie wirklich gestoßen sind, ist der Unterschied zwischen der Mechanik, für die die Aktion ein Zeitintegral einer Lagrange-Dichte ist, und der Feldtheorie, für die es ein Vielfachintegral einer Lagrange-Dichte ist. Der Quantenaspekt ist irrelevant.

Beachten Sie, dass$x^\mu$im zweiten beispiel ist das eigentlich analog$t$in der ersten; in die andere Richtung gehen, das Äquivalent von$x$Ist$\phi$. Die Rolle der Lorentz-Transformationen besteht darin, kovariant zu transformieren$\partial_\mu$, was analog ist zu$\frac{d}{dt}$, die unter Galilei-Transformationen invariant ist. Im Gegensatz dazu die$\phi$Lagrange ist nicht invariant unter$\phi\mapsto\phi+v_\mu x^\mu$.

Ein lustiger Zusatz, den Sie zu schätzen wissen werden: Sie können Theorien aufschreiben, die diese Invarianz haben; ihre Lösungen heißen Galileonen. (Ich habe an einem Konferenzvortrag darüber teilgenommen, aber es ist ein so wenig bekannter Begriff, dass es keinen Wikipedia-Artikel gibt, sondern nur Forschungsartikel.)