Intuition für Aktionen, die als Integrale über die Raumzeit geschrieben sind

Lassen Sie uns die klassische Mechanik und GR vergleichen, um zu versuchen, zu der Intuition zu gelangen, nach der Sie suchen.

Klassische Mechanik.

Erinnern Sie sich daran, dass in der klassischen Mechanik eines Systems von$N$Teilchen wird die Konfiguration des Systems zu jedem Zeitpunkt durch einen Punkt dargestellt$x\in\mathbb R^{3N}$. Der Konfigurationsverteiler$\mathcal Q$, nämlich die Menge der möglichen Konfigurationen, ist eigentlich normalerweise eine Untermannigfaltigkeit von$\mathbb R^{3N}$weil es einige Einschränkungen gibt.

Das Ziel der klassischen Mechanik ist es, die Bewegung des Systems auf seiner Konfigurationsmannigfaltigkeit für alle Zeiten vorherzusagen$t$angesichts der Konfiguration und Geschwindigkeit des Systems zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt$t_0$.

Mit anderen Worten, das Ziel besteht darin, eine Kurve zu bestimmen$x:[t_0, \infty)\to \mathcal Q$die die Bewegung des Systems bei gegebenen Anfangsdaten darstellt. In der klassischen Mechanik kann dies über ein Wirkprinzip erfolgen. Es existiert nämlich eine Funktion$S$das Kurven abbildet$x:[t_a, t_b]\to\mathcal Q$im Konfigurationsraum zu reellen Zahlen, so dass die Bewegung des Systems durch Bewegungsgleichungen bestimmt wird, die sich aus der Forderung ergeben, dass Bewegungen des Systems stationäre Punkte der Aktion sind, die typischerweise ein Integral über eine lokale Lagrange-Funktion ist;

$$\begin{align} S[x] = \int_{t_a}^{t_b}dt\, L(t, x(t), \dot x(t)) \end{align}$$ Eine andere Art, dies auszudrücken, ist, wenn $\mathcal C$bezeichnet die Menge aller zulässigen Kurven an $\mathcal Q$, dann ist die Aktion eine Funktion $S:\mathcal C\to \mathbb R$deren stationäre Punkte physikalische Bewegungen des Systems sind.

Generelle Relativität.

In der allgemeinen Relativitätstheorie möchte man, anstatt nach der Bewegung eines Teilchensystems auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit zu lösen, oft nach der Metrik der Raumzeit lösen, wenn man andere Informationen hat. Vielleicht wissen Sie zum Beispiel, dass Sie nach einer statischen, kugelsymmetrischen Raumzeit suchen. Man könnte dann die Menge aller zulässigen Metriken betrachten, nennen$\mathcal G$, und man könnte fragen

Welche der Metriken in$\mathcal G$sind körperlich?

Hier$\mathcal G$ist analog zur Menge aller Kurven$\mathcal C$in der klassischen Mechanik. Es stellt sich heraus, dass die Antwort auf diese Frage, zumindest im Kontext der Einstein-Schwerkraft ohne Materie und abgesehen von einigen Feinheiten, lautet, dass die Metrik ein stationärer Punkt der Einstein-Hilbert-Wirkung sein muss;

$$\begin{align} S_\mathrm{EH}[g] = \int_M d^4x\sqrt{|\det(g_{\mu\nu})|} R_g \end{align}$$ Wo $R_g$ist der Ricci-Skalar für die Metrik $g$, Und $M$ist die Raumzeit-Mannigfaltigkeit.

Die Hauptintuition.

Um hierfür eine Intuition zu bekommen, erinnern wir uns daran, dass wir im Falle der klassischen Mechanik nach einer Kurve gesucht haben, die ein stationärer Punkt von ist$S:\mathcal C\to \mathbb R$, und Kurven sind Funktionen der Zeit, also ist die Aktion ein Integral über die Zeit. Im Fall von$GR$, suchen wir nach einer Metrik, die ein stationärer Punkt von ist$S_{\mathrm{EH}}:\mathcal G \to \mathbb R$, und Metriken sind Funktionen der Raumzeit, also ist die Aktion ein Integral über die Raumzeit.