Gesamtderivate in GR

Question

Gesamtderivate in GR

Aktion
Physik
Grenzbegriffe
generelle Relativität
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

Kosm

Ohne Schwerkraft können wir leicht zwischen Begriffen in einem Lagrange wechseln, wie z $\partial\phi\partial\bar{\phi}$ Und $\phi\Box\bar{\phi}$ , da die totale Ableitung verschwindet. Aber in GR haben wir zusätzliche $e\equiv\sqrt{-g}$ Faktor, für den die gewöhnliche Ableitung nicht verschwindet $\partial e\neq 0$ . Ist es richtig, dass wir in diesem Fall einen zusätzlichen Begriff einführen? $\phi\partial\bar{\phi}\partial e$ , beim Umschalten zwischen $\partial\phi\partial\bar{\phi}$ Und $\phi\Box\bar{\phi}$ ? Und welcher von diesen beiden geht in die Lagrangedichte ein?

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Gesamtderivate in GR

Slereah · Answer 1

Die kovariante Divergenz eines Vektors ist

\nabla_{μ} v^{μ} = \frac{\partial_{μ} (v^{μ} \sqrt{- G})}{\sqrt{- G}}

$\nabla_\mu V^\mu = \frac{\partial_\mu (V^\mu \sqrt{-g})}{\sqrt{-g}}$

Das bedeutet, dass das Hinzufügen einer kovarianten Divergenz zum Lagrange zu folgender Änderung führt:

Δ S = \int D^{4} X \sqrt{- G} \nabla_{μ} v^{μ} = \int D^{4} X \partial_{μ} (v^{μ} \sqrt{- G})

$\Delta S = \int d^4x \sqrt{-g} \nabla_\mu V^\mu = \int d^4x \partial_\mu (V^\mu \sqrt{-g})$

was wiederum leicht zu sehen ist, dass es durch partielle Integration verschwindet. Wie bei den meisten anderen Dingen in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der Substitution $\partial \rightarrow \nabla$ macht das immer noch gut.

Ich sehe jetzt, was ich verpasst habe. Ich habe nur über Ableitungen von Skalaren nachgedacht $\partial\equiv\nabla$ . Also in meinem Beispiel ist der Vektor $\phi\partial\bar{\phi}$ . Danke, das hat geholfen.

QMechaniker · Answer 2

OP beobachtet das im Minkowski-Raum $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ , es spielt keine Rolle, ob wir schreiben

\begin{matrix} (1) & L = \sqrt{| G |} \partial ϕ \partial \bar{ϕ} \end{matrix}

${\cal L} ~=~\sqrt{|g|}\partial\phi\partial\bar{\phi} \tag{1}$ oder

\begin{matrix} (2) & L = - \sqrt{| G |} ϕ ◻ \bar{ϕ} \end{matrix}

${\cal L}~=~-\sqrt{|g|}\phi\Box\bar{\phi}\tag{2}$ für die Lagrange-Dichte, wenn wir uns nicht um die Terme der totalen Divergenz kümmern. OP denkt darüber nach, was in der gekrümmten Raumzeit passiert

(M, g)

$(M,g)$ ? Eigentlich beide Gl. (1) und (2) gelten immer noch, wenn wir den Kasten interpretieren

◻

$\Box$ als Laplace-Beltrami-Operator von

(M, g)

$(M,g)$ . Natürlich wäre jede andere Interpretation geometrisch nicht stichhaltig.

Mein Fehler war zu ersetzen $\nabla$ mit $\partial$ , vorausgesetzt, ich arbeite tatsächlich mit Skalaren $\phi\partial\bar{\phi}$ ist jetzt ein Vektor, also muss ich die kovariante Ableitung verwenden. Blöder Fehler wirklich. Ich sehe jetzt, dass diese beiden Begriffe in GR immer noch dieselben sind.

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Kosm

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Slereah

Kosm

QMechaniker

Kosm

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