Warum sind die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant, wenn wir der Wirkung einen Oberflächenterm hinzufügen?

In der Vorlesung über den Satz von Noether und die Lagrange-Formulierung klassischer Feldtheorien hat mein Professor geschrieben

Eine Symmetrie ist eine Feldvariation, die Lösungen auf Lösungen abbildet, was wahr ist, wenn sich die Aktion unter der Variation nicht ändert. Da sich die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht ändern, wenn wir der Wirkung einen Oberflächenterm hinzufügen, kann eine Symmetrie auch durch Hinzufügen eines Oberflächenterms erhalten werden

L ( X ) ↦ L ( X ) + a ∂ μ J μ ( X )

L ist die Lagrange-Dichte und a der infinitesimale Parameter der Variation.

Ich verstehe das, wenn wir einen Oberflächenbegriff hinzufügen L , dann können wir den Divergenzsatz verwenden, um es in umzuwandeln a ∂ μ J μ ( X ) .

Aber warum ändern sich die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht unter einem Oberflächenterm?

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/87628/2451 und Links darin.

Antworten (1)

Nun, wenn Sie einen Begriff wie ∂ μ J μ , der Divergenzsatz ermöglicht es Ihnen, ihn beim Integrieren in einen Oberflächenterm umzuwandeln, um die Aktion zu finden, und da angenommen wird, dass Variationen an der Grenze verschwinden, verschwindet dieser Term. Die Euler-Lagrange-Gleichungen ändern sich nicht, weil sie aus dem Setzen der Variation der Aktion auf Null stammen.

Beispiel: Angenommen, Sie haben einen Lagrange L 0 und fügen Sie eine Divergenz hinzu, um zu erhalten L = L 0 + ∂ μ J μ . Denken Sie daran, dass die Aktion (in Ihrer bevorzugten Anzahl von Dimensionen) ist:

S = ∫ D X   L = S 0 + ∫ D X   ∂ μ J μ = S 0 + ∫ D S   N μ J μ

Hier ist S_0 das Integral von L 0 , Und N μ der normale Vektor zu Ihrer Grenze.

Die Bewegungsgleichungen sind die Bedingung dafür δ S = 0 zur Erstbestellung, wenn wir eine Variation vornehmen L . So:

δ S = δ S 0 + ∫ D S   N μ δ ( J μ )

Aber J μ wird aus den Feldern konstruiert, für die Sie die Bewegungsgleichungen benötigen. Da die Variation der Felder an der Grenze hypothetisch Null ist, ist dies auch die Variation von J μ . Der letzte Term verschwindet, und wir erhalten δ S = δ S 0 . Dies impliziert, dass sich die eom seitdem nicht ändern δ S = 0 ist äquivalent zu δ S 0 = 0 .

Der Oberflächenterm muss also verschwinden? Mit anderen Worten, die Aussage "ein Oberflächenterm kann hinzugefügt werden" ist trivial, weil ein verschwindender Term immer hinzugefügt werden kann?
@BastianTreichler: Der Oberflächenbegriff verschwindet nicht; seine Variation tut es, durch Hypothese. Siehe meine Bearbeitung.
Das macht Sinn, danke! Eine letzte Sache, was meinst du mit "Aber L μ wird aus den Feldern konstruiert, für die Sie die Bewegungsgleichungen benötigen." ?
@BastianTreichler: Der Lagrangian sollte lokal sein; das ist, L bei X sollte von den Feldern abhängen X aber nicht auf dem Feld an einem anderen Raumzeitpunkt. Die Folge davon ist, dass, wenn an der Grenze die Variationen des Feldes verschwinden, die Variation der Lagrangian (und J μ ist Teil des Lagrange) auch.
Warum sind die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant, wenn wir der Wirkung einen Oberflächenterm hinzufügen?
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