Felder, die sich für Variationsprinzipien eignen? [Duplikat]

Da Sie es als klassische Feldtheorie bezeichnet haben, gehe ich davon aus, dass Sie nach welchen Eigenschaften fragen$\phi(x)$müssen Bewegungsgleichungen zulassen, die aus einem Wirkungsprinzip abgeleitet werden können.

Die Eigenschaft$\phi(x)$einem Aktionsprinzip zugänglich sein muss, ist, dass es Bewegungsgleichungen erfüllen muss, die Euler-Lagrange-Gleichungen für eine Aktion sind.

Leider kenne ich keine Papiere über welche Eigenschaften$\phi(x)$haben müssen, aber es gibt in der klassischen Mechanik einen klassischen Satz darüber, welche Eigenschaften die Gleichungen haben müssen. Wenn man hat$u : [0,T] \to \mathbb R^n$was differenzierbar und befriedigend ist$\ddot u = f^i(u, \dot u)$, benötigen wir für die Existenz von Lagrange die Existenz einer nicht-singulären symmetrischen Matrix$M_{ij}(u,\dot u)$befriedigend:

1. $$(M \Phi) = (M\Phi)^T$$
2. $$\forall_{i,j}\quad \dot M_{ij} = \frac12 \frac{\partial f^k}{\partial \dot u^i} M_{kj} + \frac12 \frac{\partial f^k}{\partial \dot u^j} M_{ki}$$
3. $$\forall_{i,j,k} \quad \frac{\partial M_{ij}}{\partial \dot u^k} = \frac{\partial M_{ik}}{\partial \dot u^j}$$

Wo$\Phi^i_j = \frac12 \partial_t \partial_{\dot u^j} f^i - \partial_{u^j}f^i - \frac14 (\partial_{\dot u^k} f^i)(\partial_{\dot u^j} f^k)$. Das sind die Helmholtz-Bedingungen. Ich kenne keine Verallgemeinerung zur Feldtheorie, aber diese Arbeit wurde in Artikeln wie hier , hier und den Zitaten dieses Artikels erweitert . Eine andere Möglichkeit, diese Bedingungen anzuzeigen, ist die für$0+1$-dimensionale Feldtheorie.