Wie zeige ich, dass es für ein gegebenes klassisches System ein Variations-/Wirkungsprinzip gibt?

I) Nicht alle Bewegungsgleichungen (eom) sind Variationsgleichungen. Ein berühmtes Beispiel ist die selbstduale Fünferform in der Superstringtheorie vom Typ IIB. In der klassischen Punktmechanik führen Reibungskräfte typischerweise zu Nichtvariationsproblemen.

II) Betrachten Sie zum Beispiel$n$Variable$q^i$und$n$eoms,

$$\tag{1} E_i~\approx~ 0, \qquad i~\in~\{1, \ldots, n\}.$$

Eine vereinfachte Version des Problems von OP (v3) ist die folgende:

Gibt es eine Aktion

$$\tag{2} S[q] ~=~\int{\rm d}t~L$$ so dass die Euler-Lagrange-Ableitungen $$\tag{3} \frac{\delta S}{\delta q^i}~=~E_i$$ genau zum Gegebenen werden$E_i$-Funktionen?

Das obige eingeschränkte Problem ist relativ einfach ein für alle Mal zu beantworten, weil man das Bekannte differenzieren kann$E_i$-Funktionen, um zu einer Reihe von Konsistenzbedingungen zu gelangen. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Funktionen$E_i=E_i(q)$beinhalten keine verallgemeinerten Geschwindigkeiten$\dot{q}^i$, Beschleunigungen$\ddot{q}^i$, und so weiter. Dann können wir davon ausgehen, dass die Lagrangian$L$hängt nicht von Zeitableitungen von ab$q^i$auch. Also stellt sich die Frage ob

$$\tag{4} \frac{\partial L}{\partial q^i}~=~E_i ?$$

Wir können die Informationen der eoms in einem einzigen Formular sammeln

$$\tag{5} E~:=~E_i ~{\rm d}q^i.$$

Die Frage wird umgeschrieben als

$$\tag{6} {\rm d}L~=~E?$$

Daher der Lagrange$L$besteht wenn$E$ist eine exakte Einsform.

III) Die obige Diskussion ist jedoch in vielerlei Hinsicht zu stark vereinfacht. Die eoms (1) haben keine eindeutige Form! ZB kann man das Gegebene multiplizieren$E_i$-Funktionen mit einem invertierbaren$q$-abhängige Matrix$A^i{}_j$so dass die eoms (1) äquivalent lauten

$$\tag{7} \sum_{i=1}^n E_i A^i{}_j~\approx~ 0.$$

Oder vielleicht die Systemvariablen$q^i$sollte als Teilsystem eines größeren Systems mit mehr dynamischen oder Hilfsvariablen betrachtet werden?

Letztendlich ist die Hauptfrage, ob die eoms ein Handlungsprinzip haben oder nicht; die besondere Form der eoms (die die Euler-Lagrange-Gleichungen ausspucken) spielt in diesem Zusammenhang keine Rolle.

Das eröffnet viele Möglichkeiten, und es kann sehr schwierig sein, systematisch ein Handlungsprinzip zu finden; oder umgekehrt, um ein No-Go-Theorem zu beweisen, dass eine gegebene Menge von Eoms nicht variationell ist.

Offensichtlich kann man sich mathematisch Bewegungsgleichungen ausdenken, die sich nicht aus einem Wirkprinzip ergeben würden.

Die ursprüngliche Motivation zu glauben, dass die Natur einem Gesetz der geringsten Wirkung gehorcht, war metaphysisch, und dann stellte sich heraus, dass man in Wirklichkeit nur garantieren konnte, dass die Wirkung stationär war , nicht unbedingt minimal, was die Metaphysik ruinierte ... außerdem muss man Seien Sie vorsichtig mit der Annahme, dass die Natur etwas tun muss, was wir auf der Grundlage philosophischer Motivationen abgeleitet haben.

Aber seit Hertz und Einstein gibt es eine andere Motivation. (Ob sie sich besser bewährt als die Stringtheorie, bleibt abzuwarten...) Gauss, Hertz, und nach ihnen Klein (siehe Whittaker, Analytical Dynamics , S. 254ff. und Hertz, The Principles of Mechanics , http://www.archive.org/details/principlesofmech00hertuoft ) formulierte die Newtonsche Mechanik in Form eines abstrakten gekrümmten Raums neu, auf dem alle Teilchen der Geodäte folgten. Aus den auf das System einwirkenden Kräften wurde die Metrik des Raumes zusammengebraut und alle Gesetze der Mechanik auf das Hertzsche Prinzip der kleinsten Krümmung reduziertstatt der geringsten Aktion. Nun, nach Einstein wissen wir, dass, wenn wir die Schwerkraft als Maß der Raumzeit interpretieren, Teilchen unter dem Einfluss der Schwerkraft einer Geodäte folgen. Dies ist eine Verallgemeinerung des sehr alten Trägheitsprinzips: Bei Newton wurde gesagt, ein Teilchen, auf das keine Kraft einwirkt, bewegt sich auf einer geraden Linie, dh einer Geodäte im flachen Newtonschen Raum. Einstein hat dies wie oben angegeben umformuliert. Die Suche nach einer (nicht Quanten-) vereinheitlichten Feldtheorie war immer dadurch motiviert: Definieren Sie eine Geometrie der Raumzeit, die auf den Kräften der Natur basiert, so dass alle Trajektorien Geodäten sind. Die physikalische Einsicht hier ist dieselbe wie die, die dem ursprünglichen Trägheitsgesetz zugrunde liegt: Natürliche , uneingeschränkte Bewegung ist geradlinig, dh geodätisch. Aber Geodäten gehorchen immer einem Variationsprinzip.

Wenn wir Einsteins Standpunkt ernst nehmen und glauben, dass er überleben wird, wenn er quantenmechanisch behandelt wird, dann wäre die Antwort auf Ihre Frage: Wenn sich die Menge der Trajektorien als Menge der Geodäten aus einer Metrik im relevanten Raum ergibt, dann dort ist ein physikalisch bedeutsames Wirkprinzip, das die Dynamik bestimmt.

Anmerkung : Ich habe mich entschieden, diese Antwort komplett zu überarbeiten. Ich war damit unzufrieden und es war unvollständig. Ich habe funktionale Ableitungen als Hauptwerkzeug durch Euler- und Helmholtz-Operatoren ersetzt, da dies mathematisch strenger ist.

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Das Problem, nach dem OP fragt, wird das inverse Problem zur Variationsrechnung genannt . Es ist nützlich, dieses Problem in zwei Zweige zu unterteilen, das schwache inverse Problem und das starke inverse Problem (dies sind keine Standardnamen). Darüber hinaus ist es auch sinnvoll, sie in globale und lokale Probleme zu unterteilen .

Diese Antwort konzentriert sich auf das schwache lokale Problem, aber ich werde auch einige Bemerkungen zum starken und globalen Problem machen.

1 . Vorrunde:

Lassen Sie uns zunächst einige Notationen festlegen.

Variablen, Indizes. Wir erwägen$m$unabhängige Variablen$x=(x^1,\dots,x^m)=(x^i)$und$n$Feldkomponenten$\psi(x)=(\psi^1(x),\dots,\psi^n(x))=(\psi^\sigma(x))$.

Der Raum der unabhängigen Variablen wird bezeichnet$X\subseteq\mathbb R^m$und wird als eine offene Teilmenge von Cartesian angesehen$m$-Platz. Da uns formale Aspekte der Variationsrechnung interessieren, gehe ich davon aus, dass alle Felder/Funktionen sind$C^\infty$da ich kein Interesse daran habe, schwache Extremale und diese Art von Problemen hier zu betrachten.

Wie angegeben, lateinische Indizes$i,j,k,\dots$Werte nehmen$1,\dots,m$und griechische Indizes übernehmen die Werte$1,\dots,n$. Bis auf die später einzuführenden Multiindizes wird Summationskonvention vorausgesetzt.

Wir gehen in dieser Antwort davon aus, dass sowohl das Set$X$unabhängiger Variablen, und der beteiligte Feldraum ist kontrahierbar$0$, was ausdrücklich bedeutet, dass wenn$x$ein erlaubter Satz von Variablen ist, dann ist es so$sx$zum$0\le s\le 1$, und wenn$\psi$ist dann eine erlaubte Feldkonfiguration$s\psi$ist auch ein zulässiges Feld für$0\le s\le 1$.

Funktionen. Das Objekt$f$ist ein lokales Funktional, wenn es ein Feld abbildet$\psi$in eine Funktion $f[\psi]$definiert an$X$so dass der Wert$f[\psi](x)$hängt nur davon ab$x$und die Werte der Ableitungen von$\psi$bis zu einer endlichen Ordnung$r$was die Reihenfolge von genannt wird$f$. Beachten Sie, dass wenn$f$ist Ordnung$r$dann ist es auch trivialerweise Ordnung$s$zum$s\ge r$.

Dann können wir schreiben

$$f[\psi](x)=f(x,\psi(x),\psi^{(1)}(x),\dots,\psi^{(r)}(x)),$$ wo $$\psi^{(r)}(x):=\left(\psi^\sigma_{i_1...i_r}(x)\right)_{i_1\le\cdots\le i_r},$$ und$\psi^\sigma_{i_1...i_r}:=\partial_{i_1}\dots\partial_{i_r}\psi^\sigma$. Die Beschränkung$i_1\le\dots\le i_r$ist notwendig, weil die höheren Ableitungen in den Indizes symmetrisch und somit nur unabhängig sind, wenn wir sie auf diese Weise einschränken.

Wir beziehen uns auf eine lokale Funktion$L[\psi]=L(x,\psi,\dots,\psi^{(r)})$einer einzelnen Komponente als Lagrangian und zu einem lokalen Funktional$\varepsilon_\sigma[\psi]=\varepsilon_\sigma(x,\psi,\dots,\psi^{(r)})$mit$n$(Anzahl der Feldkomponenten) Komponenten als Quellausdruck .

Derivate. Weil es unbequem ist, die Summen zu bestellen, wenn$f$ist eine lokale funktionale Vermietung

$$\frac{\eth f}{\eth \psi^\sigma_{i_1...i_k}},\quad i_1\le\dots \le i_k$$ bezeichnen die Ableitungen in Bezug auf die Ableitungsvariablen. Erweitern Sie diese Ableitungen symmetrisch auf alle Ordnungen der Indizes$i_1\dots i_k$, dann definieren Sie die symmetrische Ableitung als $$\frac{\partial f}{\partial \psi^\sigma_{i_1...i_k}}:=\frac{m_1!\dots m_m!}{k!}\frac{\eth f}{\eth \psi^\sigma_{i_1...i_k}},$$ wo$m_i$ist die Anzahl von Malen des Index$i$erscheint in$i_1\dots i_k$. Dieser Multinomialkoeffizient stellt sicher, dass die Kettenregel mit symmetrischen Ableitungen ohne zusätzliche Faktoren verwendet werden kann. Wir bemerken das $$\frac{\partial \psi^\sigma_{j_1...j_k}}{\partial\psi^\tau_{i_1...i_k}}=\delta^\sigma_\tau\delta^{i_1}_{(j_1}\dots\delta^{i_k}_{j_k)}.$$ Mit diesen Konventionen ist die totale Ableitung einer lokalen Funktion $$d_if\equiv\frac{df}{dx^i}=\frac{\partial f}{\partial x^i}+\sum_{k=0}^r\psi^\sigma_{i_1...i_ki}\frac{\partial f}{\partial\psi^\sigma_{i_1...i_k}}.$$

Multiindizes. Für lateinische Indizes ein Multiindex $I$der Länge$r$ist eine geordnete Liste von$r$gewöhnliche Indizes, z.$I=(i_1\dots i_r)$. Für die Länge, die wir schreiben$|I|=r$.

Wir verwenden Multiindizes nur für Größen, die in ihren Indizes symmetrisch sind, und die Summationskonvention gilt nicht für sie, dh wir haben immer Summationen über Multiindizes angegeben. Dies liegt daran, dass Multiindizes auf verschiedene Arten summiert werden können. Zum Beispiel kann die Gesamtableitung geschrieben werden als

$$d_i f=\frac{\partial f}{\partial x^i}+\sum_{|I|=0}^r\psi^\sigma_{Ii}\frac{\partial f}{\partial\psi^\sigma_I}.$$

2. Die schwachen und starken inversen Probleme:

Im Kern ist das inverse Problem das folgende. Wenn$L[\psi]$ist ein Lagrangian der Ordnung$r$, dann der Euler-Lagrange(EL)-Operator

$$E_\sigma(L)=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{I}},\quad (-d)_I =(-1)^{|I|}d_I,\quad d_I=d_{i_1}\dots d_{i_k}$$ ordnet es einem Quellausdruck der Ordnung zu$2r$.

So wird eine Differentialgleichung gegeben, indem ein Quellausdruck auf Null gesetzt wird, dh

$$\varepsilon_\sigma[\psi]=0,$$ wann macht ein Lagrange$L$existieren solche$E_\sigma(L)=\varepsilon_\sigma$, und wie man eine (oder noch besser alle) solche Lagrange-Funktion(en) findet. Wenn eine Lagrange-Funktion existiert für$\varepsilon_\sigma$, dann sagen wir , dass es eine Variation ist .

Genau genommen ist dies das Problem der schwachen Inversen . Wie aus der Antwort von Qmechanic hervorgeht, besteht die Hauptschwierigkeit nicht darin, das schwache Problem zu lösen, sondern darin, dass die EL-Gleichungen immer eine bestimmte algebraische Form haben. Das ist zum Beispiel leicht zu sehen, wenn$\varepsilon_\sigma$ist ein EL-Ausdruck und$f$eine Funktion ist (es muss nicht einmal eine lokale Funktion sein), dann$f\varepsilon_\sigma$ist kein EL-Ausdruck mehr. Doch wenn$f$ist nirgendwo Null dann die Lösungen von$\varepsilon_\sigma[\psi]=0$und$f\varepsilon_\sigma[\psi]=0$eindeutig zusammenfallen.

Beim Problem der starken Umkehrung geht es also darum zu charakterisieren, wann ein Quellausdruck äquivalent zu einem Variationsausdruck ist.

Analogie. Das Problem ist einem analogen Problem in der gewöhnlichen Analysis/Differentialgeometrie ziemlich ähnlich, für das der Integrierbarkeitssatz von Frobenius eine adäquate Lösung bietet (unglücklicherweise kennen wir für das starke Variationsproblem keinen "Variationssatz von Frobenius").

Um ein "Ur-Beispiel" zu betrachten, lassen Sie$\omega$Bohne$1$-Form auf einer endlichdimensionalen Mannigfaltigkeit und wir sind daran interessiert herauszufinden, wann es ist$\omega$orthogonal zu einem Stapel von (Hyper-)Flächen (dh einer Schieferung). Wir wissen, dass Schieferungen durch Hyperflächen lokal als Ebenenmengen einer glatten Funktion mit nicht verschwindendem Differential beschrieben werden können, also können wir versuchen, die Bedingung zu überprüfen$\omega=df$, was - nach dem Lemma von Poincaré - lokal äquivalent zu ist$d\omega=0$, und zwar über die üblichen de Rham-Homotopieoperatoren, ein geeignetes$f$explizit konstruiert werden können.

Aber diese Bedingung ist zu restriktiv,$\omega$ist immer noch orthogonal zur Schieferung, wenn es eine Funktion gibt$g$so dass$\omega=gdf$, aber$\omega$ist in diesem Fall nicht unbedingt exakt. Der Satz von Frobenius besagt, dass die vollständigen lokalen Integrierbarkeitsbedingungen dieser Gleichung sind$d\omega\wedge\omega=0$, dh$\omega$muss nicht mehr geschlossen werden, sondern nur noch "modulo selbst geschlossen".

Variationsmultiplikatoren. Dementsprechend lassen$\varepsilon_\sigma[\psi]$ein Quellausdruck sein, und$A^\sigma_{\ \tau}[\psi]$eine invertierbare Matrix, deren Elemente auch lokale Funktionale sind. Diese Matrix ist ein Variationsmultiplikator für$\varepsilon$wenn der Quellausdruck

$$\bar{\varepsilon}_\sigma[\psi]=A^\tau_{\ \sigma}[\psi]\varepsilon_\tau[\psi]$$ ist variabel.

Das Multiplikatorproblem ist eine Form des Strong-Inverse-Problems, das sich mit der Frage beschäftigt, solche Quellausdrücke zu charakterisieren, die Variationsmultiplikatoren zulassen.

Allgemeinere Probleme. Variationsmultiplikatoren schöpfen nicht alle Möglichkeiten für das starke inverse Problem aus. Beispielsweise zusätzlich zu den Feldvariablen$\psi^\sigma$, kann man auch andere Variablen einführen$\lambda^\alpha$so dass die gewünschte Dynamik der$\psi^\sigma$entstehen als Dynamik eines Teilsystems des Systems, das aus den Gesamtvariablen besteht$\psi$und$\lambda$(und vielleicht kann letzteres variiert werden). Dies kann eine ungefähre Entsprechung zum ursprünglichen System ergeben, oder es kann vorkommen, dass das$\lambda$sind Lagrange-Multiplikatoren sind ansonsten "reine Eich"-Variablen und ihre eigene Dynamik ist nicht beobachtbar oder entkoppelt von deren$\psi$.

Es gibt auch das Beispiel der Maxwell-Gleichungen, bei denen die ursprünglichen Maxwell-Gleichungen erster Ordnung zum Einsatz kommen$F_{ij}$sind nichtvariational, aber eine der Gleichungen kann (zumindest lokal über das Lemma von Poincaré) für die Potentiale gelöst werden$A_i$, dann stellt das erneute Einsetzen der Potentiale in die andere Gleichung nun eine Variationsgleichung zweiter Ordnung für die Potentiale bereit.

Beispiele. Hier betrachten wir zwei Beispiele für Variationsmultiplikatoren:

1. Die gleichung$\varepsilon[\psi]=m\psi^{\prime\prime}+k\psi^\prime+\frac{\partial U}{\partial\psi}$($m=n=1$) Welches wann$x$wird als Zeit und interpretiert$\psi$als die Position (und die Primzahlen sind$x$-Ableitungen) beschreibt eine eindimensionale Bewegung eines Teilchens, das von einem Potential beeinflusst wird$U=U(x,\psi)$und auch eine dissipative Kraft (Luftwiderstand) proportional zur Geschwindigkeit. Diese Gleichung ist keine Variationsgleichung, sondern wenn wir mit multiplizieren$\exp(\frac{k}{m}x)$, wird es mit Lagrange variiert $$L[\psi]=e^{\frac{k}{m}x}\left(\frac{1}{2}m\psi^{\prime 2}-U\right).$$
2. Die (Vakuum-)Einstein-Feldgleichung$\varepsilon_{ij}[g]=G_{ij}[g]$($G_{ij}=R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}$ist der Einstein-Tensor) ist nicht variationell. Nehmen wir jedoch als Quellausdruck den verdichteten Einstein-Tensor $\mathfrak G_{ij}=G_{ij}\sqrt{-\mathfrak g}$(hier$\mathfrak g$die metrische Determinante ist), dann wird es eine Variationsfunktion und ein möglicher Lagrange-Operator ist der Einstein-Hilbert-Lagrange-Operator zweiter Ordnung $$L[g]=R\sqrt{-\mathfrak g}.$$

Lösungen. Das starke inverse Problem hat derzeit keine vollständige Lösung. Es gibt einige Teilergebnisse, die ich am Ende dieser Antwort mit Links erwähnen werde.

3. Lösung des schwach-lokalen inversen Problems:

In diesem Abschnitt beschreiben wir die Lösung des schwachen und lokal inversen Problems. Daher besteht das Problem darin, zu bestimmen, wann ein Quellausdruck ist$\varepsilon_\sigma[\psi]$Variational wie es ist , und bestimmen Sie eine Lagrange-Funktion. Lokalität bedeutet hier, dass wir im Gegensatz zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeit auf einem kontrahierbaren Koordinatenraum (wie in der Einleitung erwähnt) arbeiten und daher keine topologischen Hindernisse entstehen können.

Die Lösung wird vom „de Rham-Typ“ sein, dh wir können einen formalen Cochain-Komplex definieren

$$\left\{\text{Currents}\right\}\xrightarrow{\mathrm{Div}}\left\{\text{Lagrangians}\right\}\xrightarrow{E}\left\{\text{Source expr.}\right\}\xrightarrow{H}\left\{\text{Lin. diff. ops.}\right\},$$ wobei Ströme lokale Funktionale sind$K^i[\psi]$mit$m$Komponenten (funktionale "Vektorfelder"),$\mathrm{Div}$nimmt die totale Divergenz, dh$\mathrm{Div}(K)=d_i K^i$,$E$der Euler-Lagrange-Operator und ist$H$ist ein sogenannter Helmholtz-Operator , der Quellausdrücke nimmt und sie in die Koeffizienten bestimmter formal anti-selbstadjungierter linearer Differentialoperatoren abbildet.

Die entscheidende Eigenschaft ist, dass dies tatsächlich ein Cochain-Komplex ist, da das Zusammensetzen zweier aufeinanderfolgender Pfeile Null ergibt, dh$E\circ\mathrm{Div}=0$und$H\circ E=0$. Eine solche Folge ist exakt , wenn gewissermaßen auch die Umkehrung gilt, dh wenn$E(L)=0$für einen Lagrange, dann gibt es eine Strömung$K$so dass$L=\mathrm{Div}(K)$und wenn$H(\varepsilon)=0$für einen Quellausdruck gibt es eine Lagrange-Funktion$L$so dass$\varepsilon=E(L)$.

Die Genauigkeit lässt sich am einfachsten anhand von Homotopieoperatoren beweisen , dh wir müssen drei lineare Operatoren finden

$$\mathbb Q:\left\{\text{Lin. diff. ops.}\right\}\rightarrow \left\{\text{Source expr.}\right\}, \\ \mathbb{L}:\left\{\text{Source expr.}\right\}\rightarrow \left\{\text{Lagrangians}\right\}, \\ \mathbb H: \left\{\text{Lagrangians}\right\}\rightarrow \left\{\text{Currents}\right\},$$ die befriedigen $$L=\mathbb L(E(L))+\mathrm{Div}(\mathbb H(L)),\qquad (\ast) \\ \varepsilon=\mathbb Q(H(\varepsilon))+E(\mathbb L(\varepsilon)),\qquad \quad(\ast\ast)$$ für alle Lagrange$L$und Quellausdrücke$\varepsilon$. In dieser Antwort werde ich darauf verweisen$(\ast)$als erste Homotopieformel und$(\ast\ast)$ist die zweite Homotopieformel . Der Homotopieoperator$\mathbb L$wird oft als Vainberg-Tonti- Operator und sein Wert bezeichnet$\mathbb L(\varepsilon)$auf einem Quellausdruck als Vainberg-Tonti-Lagrangeian , der dem Quellausdruck zugeordnet ist$\varepsilon$. Die Betreiber$\mathbb Q$und$\mathbb H$Ich habe keine Standardnamen, aber ich bin versucht, anzurufen$\mathbb H$der Horndeski-Operator , seit iirc er zuerst von Horndeski in [1] abgeleitet wurde.

Es ist klar, dass das gewünschte Exaktheitsergebnis aus den Homotopieformeln folgt ($\ast$) und ($\ast\ast$) seit wenn$L$hat dann verschwindende EL-Gleichungen ($\ast$) gibt

$$L=\mathrm{Div}(\mathbb H(L)),$$ dh$L$ist die totale Divergenz von$\mathbb H(L)$, inzwischen wenn$\varepsilon$verschwindende Helmholtz-Ausdrücke hat, dann ($\ast\ast$) gibt $$\varepsilon=E(\mathbb L(\varepsilon)),$$ dh$\mathbb L(\varepsilon)$ist eine Lagrangedichte für$\varepsilon$.

Produktformeln höherer Ordnung und Euler-Operatoren. Bevor wir fortfahren, benötigen wir einige kombinatorische Werkzeuge, um mit der großen Anzahl von Ableitungen umgehen zu können, die in einem Variationsproblem beliebiger Ordnungen auftreten.

Wenn$f,g^I=g^{i_1...i_r}$sind (glatte) Funktionen auf$X$(muss nicht funktional sein) mit$g^I$symmetrisch in seinen Indizes haben wir die höhere Produktformel

$$\sum_{|I|=r}\partial_I(fg^I)=\sum_{|I|+|J|=r}C^{|I|+|J|}_{|I|}\partial_If\partial_J g^{IJ},$$ wo $$C^{r}_{s}:=\left(\begin{matrix}r \\ s\end{matrix}\right)$$ ist eine Kurzschreibweise für den Binomialkoeffizienten.

Wir haben auch die Formel für höhere Integration nach Teilen

$$\sum_{|I|=r}\partial_If g^I=\sum_{|I|+|J|=r}C^{|I|+|J|}_{|I|}\partial_I\left(f(-\partial)_J g^{IJ}\right).$$ Diese sind unschwer per Induktion auf der Bestellung nachzuweisen$r$von Derivaten.

Lassen Sie jetzt$L=L[\psi]$ein Lagrangian der Ordnung sein$r$und wir berechnen seine Variation, die ergibt

$$\delta L[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^r\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}\delta\psi^\sigma_I=\sum_{|I|+|J|=0}^r C^{|I|+|J|}_{|I|}d_I\left(\delta\psi^\sigma(-d)_J\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{IJ}}\right),$$ wobei die Formel für die Integration höherer Ordnung nach Teilen verwendet wurde. Wir ändern nun die Summation zunächst so ab$|J|$geht von$0$zu$r-|I|$, dann$|I|$geht von$0$zu$r$(diese sind gleichwertig) zu bekommen $$\delta L[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^r d_I\left(\delta\psi^\sigma\sum_{|J|=0}^{r-|I|}C^{|I|+|J|}_{|I|}(-d)_J\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{IJ}}\right) \\ =\sum_{|I|=0}^r d_I(E^I_\sigma(L)\delta\psi^\sigma),$$ wo $$E^I_\sigma(L)=\sum_{|J|=0}^{r-|I|}C^{|I|+|J|}_{|I|}(-d)_J\frac{\partial L}{\partial \psi^\sigma_{IJ}},\quad 0\le|I|\le r$$ sind die sogenannten höheren Euler-Operatoren (auch Lie-Euler-Operatoren von Anderson in [2] genannt).

Indem wir die Produktformel auf den definierenden Ausdruck anwenden, erhalten wir auch die umgekehrte Beziehung

$$\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}=\sum_{|J|=0}^\infty C^{|I|+|J|}_{|I|}d_JE^{IJ}_\sigma(L),$$ wo die Summe endlich ist, habe ich mir einfach nicht die Mühe gemacht zu berechnen, welches der letzte Term ungleich Null ist.

Zum$|I|=0$deutlich$E_\sigma$ist nur der gewöhnliche Euler-Lagrange-Operator, und durch Aufspalten der Summen haben wir auch die erste Variationsformel

$$\delta L[\psi,\delta\psi]=E_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma+d_i\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma\right),$$ wo wir auch schreiben $$\Theta^i(L)[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma\right).$$

Die erste Homotopieformel. Eine Beziehung, die wir hier brauchen, ist die für jedes lokale Funktional$f[\psi]$wir haben

$$(d_if)[s\psi]=d_i(f[s\psi])$$ für einen reellen Parameter$s$, dh wir können zuerst die Gesamtableitung nehmen und dann weiter auswerten$s\psi$oder erst weiter auswerten$s\psi$und dann die Gesamtableitung nehmen und beide werden die gleichen Ergebnisse liefern. Dies lässt sich leicht beweisen, indem man die Gesamtableitung explizit ausschreibt.

Wir berechnen dann$dL[s\psi]/ds$, wo$L$ist ein Lagrangian der Ordnung$r$bekommen

$$\frac{d}{ds}L[s\psi]=\sum_{|I|=0}^r\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}[s\psi]\psi^\sigma_I=E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma+d_i\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right),$$ wobei wir im Grunde die gleichen Schritte wie beim Beweis der ersten Variationsformel befolgt haben.

Diese integrieren wir nun aus$0$zu$1$in Gedenken an$s$, geben

$$L[\psi]-L[0]=\int_0^1E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma ds+d_i\int_0^1\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)ds.$$

Hier können wir die Tatsache nutzen, dass$L[0]$ist jetzt kein lokales Funktional mehr, sondern nur noch eine gewöhnliche Funktion der Koordinaten$x^i$, also gilt das übliche Poincaré-Lemma, und weil der Definitionsbereich$X$gegen Null kontrahierbar ist, können wir ausdrücken$L[0]$als Abweichung:

$$L[0](x)=\partial_i\int_0^1 s^{m-1}L[0](sx)x^i ds,$$ und hier können wir seitdem die partiellen Ableitungen durch totale Ableitungen ersetzen$L[0]$als Funktion konstant ist, was beim Einsetzen in die vorherige Formel ergibt $$L[\psi]=\int_0^1E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma ds+d_i\int_0^1\left(\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)+s^{m-1}L[0](sx)x^i\right)ds.$$

Dies ist die gewünschte Homotopieformel ($\ast$) und wir können die Homotopieoperatoren als ablesen

$$\mathbb L(\varepsilon)[\psi]=\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]\psi^\sigma ds$$ und $$\mathbb H^i(L)[\psi]=\int_0^1\left(\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)+s^{m-1}L[0](sx)x^i\right)ds.$$ Die zweite Homotopieformel. Dies ist ein guter Ort, um den Helmholtz-Operator zu definieren$H$Einwirken auf einen Quellausdruck$\varepsilon=(\varepsilon_\sigma)$der Ordnung$r$durch $$H^I_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}-(-1)^{|I|}E_\sigma^I(\varepsilon_\tau),\quad 0\le |I|\le r.$$ Wenn der Quellausdruck order ist$2$wie es ziemlich üblich ist, sind die Helmholtz-Ausdrücke ungleich Null $$H_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau}-\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma}+d_i\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_i}-d_id_j\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}} \\ H^i_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_i}+\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_i}-2d_j\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}} \\ H^{ij}_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_{ij}}-\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}}.$$

Nun nehmen wir eine beliebige Quellform an$\varepsilon_\sigma[\psi]$von sagen wir bestellen$r$und vergleichen$\varepsilon$zu$E(\mathbb L(\varepsilon))$. Wir berechnen zuerst

$$\frac{d}{ds}\left(s\varepsilon_\sigma[s\psi]\right)=\varepsilon_\sigma[s\psi]+\sum_{|I|=0}^rs\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]\psi^\tau_I,$$ und integrieren diese aus$0$zu$1$bekommen $$\varepsilon_\sigma[\psi]= \int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi] ds+\int_0^1\sum_{|I|=0}^rs\frac{\partial \varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]\psi^\tau_I .$$

Wir berechnen dann

$$E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\frac{\partial}{\partial\psi^\sigma_I}\int_0^1\varepsilon_\tau[s\psi]\psi^\tau ds \\=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\int_0^1s\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_I}[s\psi]\psi^\tau ds+\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]ds,$$ Verwenden Sie dann die Produktformel höherer Ordnung und die Definition der Euler-Operatoren, um den ersten Term zu erhalten $$E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\int_0^1\sum_{|I|=0}^r(-1)^{|I|}s\psi^\tau_IE^I_\sigma(\varepsilon_\tau)[s\psi]ds+\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]ds.$$ Subtraktion gibt jetzt $$\varepsilon_\sigma[\psi]-E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\int_0^1s\sum_{|I|=0}^r\left(\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]-(-1)^{|I|}E_\sigma^I(\varepsilon_\tau)[s\psi]\right)\psi^\tau_Ids \\ =\int_0^1 s\sum_{|I|=0}^r H^I_{\sigma\tau}(\varepsilon)[s\psi]\psi^\tau_I ds,$$ was die zweite Homotopieformel beweist ($\ast\ast$) mit $$\mathbb Q_\sigma(A)[\psi]=\int_0^1 \sum_{|I|=0}^rA^I_{\sigma\tau}[s\psi]s\psi^\tau_I ds.$$

Um die Beweise aller zuvor eingeführten Beziehungen zu vervollständigen, müssen wir das noch zeigen$H(E(L))=0$, dh der Helmholtz-Operator verschwindet auf EL-Ausdrücken.

Am einfachsten beweist man dies durch Definition$\mu=dx^1\wedge\dots dx^m$und die Aktion funktional

$$S_\Omega[\psi]=\int_\Omega L[\psi]\mu$$ dem Lagrange zugeordnet$L$, wo$\Omega$ein reguläres Gebiet ist (kompakt, ist der Abschluss einer offenen Menge, ihr Rand ist stückweise glatt usw., dh es gilt der Satz von Stokes), dann betrachten wir eine glatte zweiparametrige Familie$\psi_{t,s}^\sigma(x)$von Feldern so dass$\psi_{0,0}=\psi$. Lassen$\delta_1:=\frac{\partial}{\partial s}|_{s=t=0}$und$\delta_2:=\frac{\partial}{\partial t}|_t=0$. Dann haben wir durch die Kommutativität partieller Ableitungen $$0=\left.\frac{\partial S_\Omega[\psi_{t,s}]}{\partial s\partial t}\right|_{t=s=0}-\left.\frac{\partial S_\Omega[\psi_{t,s}]}{\partial t\partial s}\right|_{t=s=0}=\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}\left(\frac{\partial E_\sigma(L)}{\partial\psi^\tau_I}\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma-\frac{\partial E_\tau(L)}{\partial\psi^\sigma_I}\delta_1\psi^\tau\delta_2\psi^\sigma_I\right)\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu.$$ Wir integrieren teilweise auf den zweiten Term , um zu erhalten $$0=\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}\left(\frac{\partial E_\sigma(L)}{\partial\psi^\tau_I}-(-1)^{|I|}E^I_\sigma(E_\tau(L))\right)\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu \\ =\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}H^I_{\sigma\tau}(E(L))\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu.$$ Denn dies gilt für beliebige Variationen$\delta_1\psi$und$\delta_2\psi$, legen wir fest$\delta_2\psi$eine Bump-Funktion mit schmaler Unterstützung im Inneren sein$\Omega$. Dann verschwindet der Divergenzterm (es ist ein Grenzterm) und durch das übliche Lemma-Argument von Lagrange die Koeffizienten von$\delta_2\psi$muss auch verschwinden. Wir bekommen $$0=\sum_{|I|=0}^{2r}H^I_{\sigma\tau}(E(L))\delta_1\psi^\tau_I.$$ Daraus folgt, dass alle Helmholtz-Ausdrücke$H^I_{\sigma\tau}(E(L))$muss separat verschwinden, denn wir können zB. einstellen$\delta_1\psi$eine willkürliche Konstante sein, die zwingt$H_{\sigma\tau}(E(L))$zu verschwinden, wenn wir untergehen können$\delta_1\psi$so dass seine ersten Ableitungen willkürlich sind, was Kräfte$H^i_{\sigma\tau}(E(L))$zu verschwinden, dann können wir untergehen$\delta_1\psi$willkürliche zweite Ableitungen haben (symmetrisch in den Indizes, aber so ist es$H$), die zwingt$H^{ij}_{\sigma\tau}(E(L))$zu verschwinden usw. Wir haben also $$H^I_{\sigma\tau}(E(L))=0\quad 0\le |I|\le 2r$$ für alle Lagrange$L$der Ordnung$r$wie wir behauptet haben.

Damit ist die Behandlung des Problems der lokalen schwachen Inverse beendet.

Schließlich bemerken wir, dass der Vainberg-Tonti-Operator$\mathbb L$und der Horndeski-Betreiber$\mathbb H$sind nicht "effizient" in dem Sinne, dass sie normalerweise Objekte höherer Ordnung als notwendig produzieren. Der EL-Operator wird einen Lagrangian der Ordnung drehen$r$in einen Quellausdruck der Ordnung$2r$, aber der Vainberg-Tonti Lagrangian einer Ordnung$2r$Quellausdruck ist Reihenfolge$2r$auch. Ebenso ein Ordnungsstrom$r-1$differenziert sich in eine Lagrange-Ordnung$r$, aber der Horndeski-Strom einer Bestellung$r$Lagrange ist Ordnung$2r-1$.

Einige Ergebnisse zur Ordnungsreduktion sind in [2] zu finden.

4. Globale Überlegungen:

Wenn die globale Struktur dieser Operatoren und die globale Gültigkeit (oder deren Fehlen) der Homotopieformeln ($\ast$) und ($\ast\ast$) untersucht werden sollen, benötigt man eine geeignete differentielle geometrische Formulierung der Variationsrechnung.

In diesem Fall$X$ist ein$m$dimensionale Mannigfaltigkeit und wir betrachten eine gefaserte Mannigfaltigkeit$\pi:Y\rightarrow X$Über$X$mit$n$dimensionale Fasern. Die im Variationsproblem auftretenden Feldfunktionen werden als Abschnitte von interpretiert$\pi$.

Man kann dann die unendliche Strahlverlängerung konstruieren$J^\infty Y$dieser fasrigen Mannigfaltigkeit, und dies ist der Ort, an dem die "lokalen Funktionsträger" leben. Die relevanten Objekte sind tatsächlich differentielle Formen auf diesem Raum. Wir haben einen zweistufigen differentiellen Doppelkomplex$(\mathcal O^{\bullet,\bullet}(Y),d_H,\delta)$von Differentialformen auf$J^\infty Y$wo$\mathcal O^{k,l}(Y)$ist die Menge der Differentialformen mit$k$horizontal u$l$Kontakt Grad. Das horizontale Differential

$$d_H:\mathcal O^{k,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{k+1,l}(Y)$$ ist das, was dem Nehmen von totalen Divergenzen und dem vertikalen Differential entspricht $$\delta:\mathcal O^{k,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{k,l+1}(Y)$$ entspricht dem Nehmen von Variationen. Die horizontalen Grad sind begrenzt$m$während die vertikalen Grad unbegrenzt zunehmen können.

Man kann Operatoren definieren$I:\mathcal O^{m,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{m,l}(Y)$zum$l\ge 1$die die Eigenschaft hat, dass die Leerzeichen$\mathcal F^l(Y):=I(\mathcal O^{m,l}(Y))$in der direkten Summenzerlegung auftreten

$$\mathcal O^{m,l}(Y)=\mathcal F^l(Y)\oplus d_H\mathcal O^{m-1,l}(Y).$$ Dann wird der obige Differential-Doppelkomplex mit den Leerzeichen erweitert$\mathcal F^l(Y)$wird als Variationsbikomplex bezeichnet, der mit dem Faserverteiler verbunden ist$\pi:Y\rightarrow X$. Besonders interessant ist die Sequenz $$0\xrightarrow{}\mathbb R\xrightarrow{}\mathcal O^{0,0}\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{1,0}\xrightarrow{}\cdots\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{m-1,0}\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{m,0} \\ \mathcal O^{m,0}\xrightarrow{\delta_\ast}\mathcal F^1\xrightarrow{\delta_\ast}\mathcal F^2\xrightarrow{\delta_\ast}\cdots,$$ wo$\delta_\ast=I\circ\delta$ist das induzierte Differential. Diese Folge wird Variationsfolge oder Euler-Lagrange-Folge genannt .

Der Begriff$\mathcal O^{m-1,0}(Y)$kann als Raum der Strömungen interpretiert werden,$\mathcal O^{m,0}(Y)$als Raum der Lagrange,$\mathcal F^1(Y)$als Raum der Quellausdrücke und$\mathcal F^2(Y)$als Raum der entsprechenden linearen Differentialoperatoren, in die der Helmholtz-Operator abgebildet wird. Die Differentiale$\delta_\ast$reproduzieren den EL-Operator, wenn er angewendet wird$\mathcal O^{m,0}$und der Helmholtz-Operator, wenn er angewendet wird$\mathcal F^1(Y)$.

Mittels Methoden der homologischen Algebra und der Garbentheorie ist es möglich, die Kohomologie des Variationskomplexes zu berechnen. Es stellt sich heraus, dass

$$H(\mathcal O^{k,0}(Y))\cong H^k_{\mathrm{dR}}(Y)$$ und $$H(\mathcal F^k(Y))\cong H^{m+k}_{\mathrm{dR}}(Y),$$ dh die Kohomologie des Variationskomplexes ist isomorph zur de Rham-Kohomologie von$Y$, die es einem ermöglicht, die globalen Hindernisse für die Genauigkeit zu lernen, indem man die Kohomologie von berechnet$Y$.

5. Bemerkungen zu den Teillösungen des stark inversen Problems:

[In Arbeit]

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Verweise:

• [1] GW Horndeski: Suffizienzbedingungen, unter denen eine Lagrange-Funktion eine gewöhnliche Divergenz ist. (1975)
• [2] IM Anderson: The Variational Bicomplex (unvollendetes und unveröffentlichtes Buch/technischer Bericht; kann leicht im Internet gefunden werden; immer noch die "kanonische" Arbeit zu diesem Thema)
• D. Krupka: Einführung in die globale Variationsgeometrie

Die Originalpapiere sind

• E. Tonti: Variationsformulierungen nichtlinearer Differentialgleichungen (1969)
• MM Vainberg: Variationsmethoden zur Untersuchung nichtlinearer Operatoren (1964)
• F. Takens: Eine globale Version des inversen Problems der Variationsrechnung (1979)
• A. Vinogradov: Eine Spektralfolge, die mit einer nichtlinearen Differentialgleichung verbunden ist, und die algebraisch-geometrischen Grundlagen der Lagrange-Feldtheorie mit Nebenbedingungen (1978)
• WM Tulczyjew: Die Euler-Lagrange-Resolution (1980)
• IM Anderson, T. Duchamp: Über die Existenz globaler Variationsprinzipien (1980)