Gibt es eine gültige Lagrange-Formel für alle klassischen Systeme?

Grob gesagt haben sich die Physiker kurz vor den Revolutionen der Relativitätstheorie und der Quantentheorie viel darüber Gedanken gemacht. Heinrich Hertz reduzierte die gesamte klassische Mechanik auf eine Art Lagrange- und Hamilton-Rahmen und ein neues Prinzip der kleinsten Krümmung. Siehe Hertz, The Principles of Mechanics , urheberrechtlich geschützt, http://www.archive.org/details/principlesofmech00hertuoft und Whittaker, Analytical Dynamics , S. 254ff. Ihre Gedanken erwiesen sich als sehr hilfreich für die allgemeine Relativitätstheorie, die Wellenmechanik und die Quantenfeldtheorie.

Hertz' Ideen der geringsten Krümmung sind den Ideen von Lagrange sehr ähnlich .

Alle klassischen Mechaniken können in den Lagrange-Rahmen gebracht werden: Wenn die Energie nicht erhalten bleibt (z. B. wenn das System ein offenes System ist, wenn Reibung vorhanden ist usw.), passt man sich lediglich an, um einen zeitvariablen Lagrange zuzulassen.

Aber der praktische Nutzen dieser Formulierung ist manchmal gering: Fragen zur Statistischen Physik erfordern eine andere Betrachtungsweise des Phasenraums und des Systems: Seine Bewegungsgesetze sind fast irrelevant und die Art der Information über die Trajektorien der Teile des Systems die Ihnen die Lagrange-Gleichungen liefern, sind fast nutzlos, man möchte stattdessen Dinge wie ihre Autokorrelationsfunktionen wissen, die fast unabhängig von der bestimmten Trajektorie oder der gewählten Anfangsbedingung sind.

Soweit ich weiß, ist die hamiltonsche Formulierung noch allgemeiner als die lagrangesche, in dem Sinne, dass Sie möglicherweise keine lagrangesche Beschreibung für ein bestimmtes System finden, das dennoch in einem hamiltonschen Rahmen behandelt werden kann. Denken Sie daran, wie der Hamiltonsche Formalismus eingeführt werden kann: Wir definieren verallgemeinerte Impulse$p_k=\partial L/\partial \dot q_k$und merke das

, wo es eine Summe auf den Indizes gibt$r,s$und wo wir die kinetische Energie als die Summe eines quadratischen Terms in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten, einer linearen und einer konstanten zerlegt haben (wie es immer möglich ist, wenn holonome Beschränkungen gegeben sind). Die symmetrische Matrix$\{a_{ks}\}$ist also invertierbar$\dot{q_s}=\phi_s(q,p,t)$. All dies, um zu sagen, dass Lagrange-Gleichungen immer in Normalform gebracht werden können:

Wir können den Hamiltonian definieren$H(q,p,t)$über die üblichen Legendre-Transformationen und leiten Hamiltonsche Bewegungsgleichungen ab. Sobald wir den hamiltonschen Formalismus entwickelt haben, können wir vergessen, wie wir dorthin gelangen und die behandeln$q$'s und die$p$als unabhängige Variablen. Ist es möglich, zu den Lagrange-Gleichungen zurückzukehren und zu beweisen, dass die beiden Formalismen äquivalent sind? Ja, aber nur unter einer sehr allgemeinen Bedingung: Angesichts der Hamilton- und Hamilton-Gleichungen muss es möglich sein, die auszudrücken$\dot{q}$als Funktionen der kanonischen Koordinaten. Wenn möglich, definieren$L=p_k\partial h/\partial p_k-H$, wo es das jetzt verstanden wird$L$wird als Funktion von gedacht$(q,\dot q,t)$. Von hier aus kann bewiesen werden, dass dann auch Lagrange-Gleichungen gelten müssen. Also, nein, nicht alle mechanischen Systeme haben eine Lagrange-Beschreibung, da Sie möglicherweise von einer Hamilton-Funktion ausgehen und herausfinden, dass die Beziehungen, die die ergeben, vorhanden sind$\dot q$ist in Bezug auf$(q,p)$sind nicht invertierbar. Die Hamiltonfunktion kann eine sehr allgemeine Funktion sein, die nicht unbedingt in einen kinetischen und einen potentiellen Term zerlegbar ist. Übrigens, die totale Ableitung von$H$gleich seiner partiellen Ableitung nach der Zeit ist; So$H$ist die Energie nur dann, wenn$H=H(q,p)$, das heißt, die Einschränkungen hängen nicht von der Zeit ab.

Es gibt einige klassische Systeme, die nicht im Lagrange-Formalismus beschrieben werden können, zB Teilchen mit Spin oder Polarisation. Aber für diese Systeme gibt es einen gültigen Hamiltonoperator!

Außerdem kann man von jedem Lagrange- zum Hamilton-Formalismus gehen (H könnte dann eine mehrwertige Funktion sein). Der letzte ist also der "fundamentalere".

(Für Details siehe Souriau: Structure of dynamical systems: a symplectic view of physical, Seite XXI, zB http://books.google.de/books?id=4tBrbryIKQAC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false )