Definieren zeitinvariante Hamiltonoperatoren geschlossene Systeme?

  1. In der klassischen Mechanik stellt jeder zeitinvariante Hamiltonoperator ein geschlossenes dynamisches System dar?

  2. Kann jedes abgeschlossene dynamische System als zeitinvarianter Hamiltonoperator dargestellt werden? Oder gibt es geschlossene dynamische Systeme, die nicht durch einen zeitinvarianten Hamiltonoperator beschrieben werden können?

  3. Sind diejenigen, die nicht durch einen zeitinvarianten Hamiltonian beschrieben werden können, "unphysikalisch"?

Im Wesentlichen ein Duplikat von physical.stackexchange.com/q/175021/2451
Hmm - ich bin mir nicht sicher, ob es sich um ein Duplikat handelt. Das OP möchte in diesem Fall wahrscheinlich eher eine breitere physikalische Intuition als die Mathematik. Ich denke, es lohnt sich, beide Fragen zu ergänzen!

Antworten (1)

Sie verwechseln zwei Definitionen - geschlossenes System und Energieerhaltung. Ich räume sie für dich auf.

In der klassischen Dynamik ist ein geschlossenes System eines, in dem keine Kraft außerhalb des Systems wirkt. In einem geschlossenen System müssen die Gesamtenergie, der Gesamtimpuls und der Gesamtdrehimpuls erhalten bleiben. Dies folgt aus dem Satz von Noether. Wenn a keine Wechselwirkung mit der Außenwelt hat, dann erwarten wir, dass es Raumzeitsymmetrien gehorcht. Der Satz von Noether garantiert dann die obigen Erhaltungsgrößen.

A2. Ja, jedes geschlossene dynamische System kann als zeitinvarianter Hamiltonoperator dargestellt werden.

Beachten Sie, dass diese Definition des geschlossenen Systems nicht mit der Definition des geschlossenen Systems in der Thermodynamik identisch ist. Tatsächlich ist ein geschlossenes System in der klassischen Dynamik dasselbe wie ein isoliertes System in der Thermodynamik. Es ist ziemlich irritierend, dass es diesen Missbrauch der Nomenklatur gibt - ich nehme an, es ist historisch!

Unsere besten fundamentalen Theorien gehen davon aus, dass wir das Universum als geschlossenes System beschreiben können. Daher reduziert sich gewissermaßen die gesamte Physik auf diesen Fall. Es ist jedoch ziemlich unpraktisch, Dinge nur in Bezug auf geschlossene Systeme zu beschreiben. Schließlich sind die meisten Experimente, die wir durchführen, keineswegs in einem geschlossenen System. Im Moment sitzen wir zum Beispiel alle im Gravitationsfeld der Erde. Daher ist es bequem (und völlig physikalisch), die Welt in Bezug auf allgemeinere nicht geschlossene Systeme zu beschreiben.

A3. Nein. Grundsätzlich glauben wir, dass die gesamte Physik durch geschlossene Systeme beschrieben wird, die zeitinvariante Hamiltonoperatoren haben würden. Manchmal ist es jedoch praktisch, Teile des Systems selbst zu beschreiben. Das ist eine völlig körperliche Sache! Es gibt keinen Grund, warum Teile des Systems zeitinvariante Hamilton-Operatoren haben oder überhaupt Symmetrien gehorchen sollten.

Schließlich kommen wir zum Energieerhaltungssatz . Die Gesamtenergie bleibt genau dann erhalten, wenn der Hamiltonoperator zeitinvariant ist. Beachten Sie jedoch, dass dies eine weniger strenge Bedingung ist als ein geschlossenes System mit klassischer Dynamik. Beispielsweise bleibt für ein Teilchen, das sich in einem zentralen Feld bewegt, die Energie erhalten, der Impuls jedoch nicht. Wir können diese Situation nicht als geschlossenes System beschreiben (weil es eine äußere Kraft gibt), aber wir können sagen, dass sein Hamiltonoperator zeitinvariant ist.

A1. Nein, es gibt zeitinvariante Hamiltonoperatoren, die anderen Raumzeitsymmetrien nicht gehorchen, also beschreibe keine geschlossenen Systeme!

Danke für Ihre Antwort, es hat die Dinge tatsächlich geklärt :) Beim Versuch, weiter zu verstehen, was es bedeutet, einen (zeitinvarianten) Hamiltonian zu haben, habe ich diese phys.SE gefunden , in der die zweite Antwort zwei energiesparende Systeme erwähnt, die nicht Hamiltonian sind. Sie sagten jedoch, dass Energie nur erhalten bleibt, wenn das System einen zeitinvarianten Hamilton-Operator hat. Was vermisse ich?
Ausgezeichnete Frage. Es gibt einen feinen Unterschied zwischen „einen Hamiltonian haben“ und „ein Hamiltonian-System sein“. Letzteres bedeutet normalerweise, dass Sie Dinge mit Poisson-Klammern beschreiben können. Alle uneingeschränkten geschlossenen Systeme, denen ich je begegnet bin, können als Hamiltonsche Systeme beschrieben werden. Einen Beweis dafür finde ich aber nicht. Wenn Sie Einschränkungen haben (insbesondere nicht-holonome), müssen geschlossene Systeme nicht hamiltonsch sein, wie diese Präsentation zeigt.
Beachten Sie, dass sowohl der Schlitten als auch der Rattleback in die Kategorie der geschlossenen Systeme mit nicht-holonomen Einschränkungen fallen. Dies erklärt die Beispiele in Ihrer verknüpften Frage. Es kann andere Umstände geben, unter denen geschlossene Systeme nicht Hamiltonisch sind, aber Sie benötigen wahrscheinlich einen Experten für dynamische Systeme, um diese Frage zu beantworten!
Wir könnten also sagen, dass ein System genau dann einen zeitinvarianten Hamiltonoperator hat, wenn es holonom und energieerhaltend ist. Das ist eine ziemlich eingeschränkte Klasse, würde ich sagen, ich verstehe dann nicht, was mit der Hamiltonschen Mechanik los ist. Wissen Sie, ob Quantensysteme mit einem zeitinvarianten Hamiltonoperator auch diese Einschränkungen haben?
Der Punkt ist, dass ein zeitinvarianter Hamilton-Operator nicht garantiert, dass Sie die Dynamik mit Poisson-Klammern beschreiben können! Deshalb ist das Thema ein wenig subtil. Quantensysteme müssen per Definition einen Hamilton-Operator und Kommutierungsbeziehungen haben, wodurch solche Probleme automatisch umgangen werden.
Ich bin mir nicht sicher, warum man die Dynamik mit Poisson-Klammern (Prägnanz?) beschreiben möchte. Kennen Sie eine Referenz, in der ich etwas über den Unterschied zwischen "ein Hamilton-System haben" und "ein Hamilton-System sein" erfahren kann? Wie manifestiert sich dieser Unterschied in der Newtonschen Mechanik?
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