Ein Beispiel für nicht-Hamiltonsche Systeme [geschlossen]

Ich bereite mich auf die Prüfung vor. Und ich muss die Antwort auf eine Frage wissen, die ich nicht verstehe.

"Geben Sie ein Beispiel für nicht-Hamiltonsche Systeme: im Falle einer unendlichen Anzahl von Teilchen; für eine endliche Anzahl von Teilchen".

Ich hoffe jemand kann mir helfen.

Antworten (3)

Das ist einfach. Die Hamiltonsche Mechanik beschreibt reversible Dynamik. Führen Sie einfach Irreversibilität in Ihr System ein. wie Reibung, Dissipation, Viskosität etc.

Kannst du die Frage jetzt beantworten?

Im unendlichen Fall ja. Was ist mit endlich vielen Teilchen? Ich denke, ich sollte ein System konstruieren, für das wir nicht Hamiltonian schreiben können.
Was ist Ihr unendliches Fallbeispiel?
System, bei dem die Gesamtenergie nicht erhalten bleibt. Ich denke, es kann eine Bewegung von Teilchen sein, die ihre Energie durch Strahlung verlieren, vielleicht? Tut mir leid, dass ich wegen des schlechten Rufs nicht positiv abstimmen kann
Ähhh, ich weiß nicht. Sie können Dissipation eigentlich ziemlich einfach in die Hamiltonsche Sprache bringen.

Wir definieren ein Hamiltonsches System als die Triade ( H , M , ω ) einer Hamiltonfunktion H auf einer Zustandsraum-Mannigfaltigkeit M das mit einer (geschlossenen) symplektischen Form ausgestattet ist ω .

Zwei seit langem bekannte und viel untersuchte, aber (relativ) einfache Beispiele für energiesparende, aber nicht-Hamiltonsche dynamische Systeme sind (1) der  Chaplygin-Schlitten und (2) der  Rasselrücken .

Anmerkung hinzugefügt   Insbesondere der Grund, warum die Dynamik des Chaplygin-Schlittens nicht hamiltonsch ist, ist geometrisch elementar: Die Zustandsraum-Mannigfaltigkeit eines Chaplygin-Schlittens ist ungeradedimensional – nämlich die x- und y-Raumkoordinaten des Schlittens, die Winkelorientierung des Schlittens, seines linearen Impulses und seines Drehimpulses – während symplektische Formen nur auf geradedimensionalen Mannigfaltigkeiten existieren.

Wird als Fluss angesehen M , ist die Dynamik dieser Systeme energieerhaltend, aber kein Symplektomorphismus. In thermodynamischer Hinsicht gilt der erste Hauptsatz, aber der zweite Hauptsatz muss nicht.

Zum Beispiel lesen wir in Advances in the Theory of Control, Signals and Systems with Physical Modeling :

Eines der auffallenden Merkmale von nicht-holonomen Systemen ist, dass sie zwar Energie sparen, aber kein Volumen im Zustandsraum sparen müssen.

Die Untersuchung der thermodynamischen Eigenschaften von Ensembles dieser Systeme (und anderer nicht-symplektomorpher Systeme wie sie) und ihrer Quantenverallgemeinerungen sind aktive Forschungsgebiete.

Das ist nicht richtig – nur weil einige Beschränkungen nicht holonom sind, bedeutet das nicht, dass das System nicht durch einen Hamiltonian beschrieben wird. Sie können keine nichtdissipative Bewegung haben, die nicht hamiltonsch ist, es würde Informationen erfordern, um zu gehen, ohne dass Energie austritt.
@Ron, ich habe einige Definitionen und eine Referenz hinzugefügt, die den Punkt klarer machen.
Reibung ist bei Rasselback irrelevant?!
@Yrogirg, in den makroskopischen Gleichungen gibt es keine Reibung. Auf der mikroskopischen Ebene haben Sie eine tiefe Frage gestellt! Kann die Quantenmechanik nämlich rollende/gleitende mechanische Einschränkungen umfassen, die einen Entropiegewinn von null haben? Ich kenne die Antwort auf diese Frage nicht, und ich vermute, dass niemand sie weiß.
Ein Kommentar: Nur weil ein System drei Zustandsvariablen hat, kann man nicht schlussfolgern, dass es nicht hamiltonsch ist. Ein von Arnold oft zitiertes Gegenbeispiel liefern die Euler-Gleichungen für einen freien starren Körper (vgl. web2.ph.utexas.edu/~morrison/94IFSR640_morrison.pdf , p.42). Sie sind ein Beispiel für ein nicht-kanonisches Hamiltonsches System. Ein weiteres Beispiel für ein nicht-kanonisches Hamilton-System ist der Fluidfluss, wenn er in Eulerschen Koordinaten ausgedrückt wird.

Yrogirg hat Recht: Füge Reibung hinzu, und deine Hamilton-Dynamik ist weg.

Beispiel für einzelne/wenige Partikel: eine Perle auf einem Drahtrahmen mit Reibung.

Beispiel für unendlich viele Teilchen:

i) Fluiddynamik oder Dynamik geladener Systeme (ohne Strahlungshamilton)

ii) ein quantisiertes Feld in einem expandierenden Universum mit Friedman-Metriken: ds^2= dt^2- R(t)^2 (dx^2+dy^2+dz^2) wobei R(t) der "Radius" wäre " des Universums.

um nur zwei zu nennen.

Die "endliche Anzahl" von Freiheitsgraden ist irreführend, da Reibung automatisch eine unendliche Anzahl von Freiheitsgraden ist, und es gibt keine Beispiele für Reibung in einer endlichen Anzahl von DOFs.
Was ist die Subtilität mit (ii)? Klassischerweise ist eine Hamiltonsche Formulierung möglich, oder?
@Ron: Ja, Reibung impliziert eine Unendlichkeit von DOF, diese werden jedoch nicht als Teil des zu untersuchenden Systems betrachtet, sondern als Teil des Mediums. Eine Mittelung dieser DOFs führt zu Reibungen, jedoch nur auf der Ebene des betrachteten (offenen) Teilsystems. Bei der Erörterung des Gleitens von Metallplatten aufeinander wird das quantisierte EM-Feld zwischen ihnen nicht immer erwähnt.
@Ron: du hast Recht was den Fall von nur wenigen DOFs angeht: da kann es streng genommen keine Reibung geben. Allerdings braucht man nicht viele Teilchen, um am Ende eine chaotische Dynamik zu haben (von der ich zugegebenermaßen nicht viel weiß). Hierdurch könnte eine einzelne Trajektorie einen gesamten Bereich des Phasenraums füllen. Statistisch gesehen ist dies dem Streuen eines Strahls repräsentativer Punkte über ein verteiltes Streumedium ähnlich. Diese (ungefähre, fapp) statistische Beschreibung des Wenig-Körper-Systems wäre dann markovsch (nicht mehr hamiltonsch).
Ein Beispiel für nicht-Hamiltonsche Systeme [geschlossen]
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