Ist die Flugbahn in geschlossener Phase ein notwendiges Merkmal jeder eindimensionalen periodischen Bewegung?

Die Phasenbahn eines eindimensionalen einfachen harmonischen Oszillators ist eine geschlossene (insbesondere eine Ellipse). Ist die Flugbahn in geschlossener Phase ein generisches Merkmal jeder periodischen Bewegung, zumindest in einer Dimension? Wenn ja, gibt es einen einfachen Beweis dafür?

Betrachten Sie die Bedeutung von „periodisch“. Obwohl wir es manchmal für Fälle wie gedämpfte harmonische Bewegung verallgemeinern.
@dmckee Willst du, dass ich periodische Bewegung definiere? Unter periodischer Bewegung verstehe ich, dass das Teilchen immer wieder die gleiche Bahn beschreibt und in festen Zeitabständen den gleichen Punkt seiner Bahn erreicht. Dies gilt nicht für gedämpfte harmonische Bewegungen.
@SRS Was bedeutet "geschlossene Flugbahn" für Sie?
@JMac Mit geschlossener Flugbahn meine ich die geschlossene Phasenflugbahn. Titel bearbeitet.
Machen Sie sich mehr Sorgen darüber, ob die Phasenbahnen geschlossen sind oder ob es sich um Ellipsen handelt?
@MichaelSeifert Frage bearbeitet. Hoffe es ist jetzt klar.

Antworten (2)

Ja.

  • Eine Phasenraumtrajektorie eines glatten Systems 1 muss eine stetige Kurve sein .

  • Damit sie als "periodisch" bezeichnet werden kann, muss sich die Bewegung wiederholen, sowohl in Geschwindigkeit als auch in Position: dh sie muss zu derselben Stelle im Phasenraum zurückkehren .

  • Für ein deterministisches System bestimmt der aktuelle Zustand eindeutig seine zukünftige Entwicklung, und es kann keine "Kreuzungen" geben.

All dies zusammen bedeutet, dass eine Phasenraumbahn, sobald sie dorthin zurückkehrt, wo sie gestartet wurde, durch den Determinismus gezwungen ist, erneut über denselben Pfad zu laufen, der bei gegebener Kontinuität eine geschlossene Schleife bildet.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Quelle: Reartes, W., Actas del XII Congreso Dr. Antonio AR Monteiro (2013) , 2014, S. 98 − 103 ( PDF-Datei ).

Beachten Sie, dass Pendeldrehungen entweder als divergierend oder periodisch betrachtet werden können. Sie sind divergent, wenn der Phasenraum die Ebene ist, und periodisch, wenn es sich um einen Zylinder handelt ( θ = 0 Und θ = 2 π identifiziert), was bedeutet, dass auch Rotationen geschlossene Kurven (über dem Zylinder) sind, wenn sie periodisch betrachtet werden.

Was einen formalen Beweis betrifft, werden die meisten Texte über ODEs und dynamische Systeme einige haben. Zum Beispiel Kapitel 2 und 3 von Hirsch-Smale-Devaney oder die ersten sechs Seiten des Lebovitz-Lehrbuchkapitels über dynamische Systeme.

1 Die Antwort von Dr. Xorile zeigt, dass dieser Zustand gelockert werden kann.

Laut Goldstein gibt es zwei Arten von periodischen Bewegungen – Librationen und Rotationen. Bei Rotationen sind die Phasentrajektorien nicht geschlossen, weil nur die Impulsvariable an der gleichen Stelle ihrer Bahn immer wieder auf den gleichen Wert zurückkehrt, nicht aber der Ort. Ich verstehe nicht warum. @stafusa
Es ist eine Entscheidung, sich zu identifizieren θ = 0 mit θ = 2 π : Wenn Sie glauben, dass das Pendel nach einmaligem Umlauf wieder an der gleichen Position ist, dann machen Sie diese Identifizierung und die Phasenraumbahn ist geschlossen. Goldstein beschließt zu lassen θ unbegrenzt wachsen − das ist eine gültige Wahl, aber eine, die ich als nicht wirklich kompatibel mit der Bezeichnung der Bewegung als " periodisch " ansehe.

Nein. Zumindest wenn ich Ihre Frage richtig verstehe.

Angenommen, ein einfacher harmonischer Oszillator hat a cos Positionskurve. Dann wird die Geschwindigkeitskurve sein D P / D T was sein wird Sünde , und so erhalten Sie Ihre Ellipse, wenn Sie sie in einem Phasendiagramm darstellen.

Aber betrachten Sie jetzt eine Sägezahnbewegung. Dann wechselt die Geschwindigkeitskurve von konstant positiv zu konstant negativ ( D P / D T konstant ist, weil der Sägezahn einfach eine gerade Linie ist).

Wenn Sie die Position gegen die Geschwindigkeit auftragen, erhalten Sie am Ende ein Kästchen (oder zwei parallele Linien mit einem sofortigen Sprung zwischen ihnen). Also geschlossene Figur, aber keine Ellipse.

Obwohl eine geschlossene Schleife notwendig ist, gibt es keinen Grund dafür, dass die Schleife einfach sein muss. Es kann sich selbst überlappen. Die Antwort von @stafusa fügt die Bedingung hinzu, dass der Pfad deterministisch ist, aber auch diese Bedingung kann gelockert werden.

Betrachtet wird eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, die sich bewegt − 2 → 1 → − 1 → 2 → 2 . Hier ist das Phasendiagramm ein Kasten, der auf seinem Weg eine Art Schleife macht.

Insbesondere ist es ein Pfad aus geraden Linien, der von (in ( P , v ) Raum):

( − 2 , 1 ) → ( 1 , 1 ) → ( 1 , − 1 ) → ( − 1 , − 1 ) → ( − 1 , 1 ) → ( 2 , 1 ) → ( 2 , − 1 ) → ( − 2 , − 1 ) → ( − 2 , 1 )

Beachten Sie, dass das Liniensegment von ( − 1 , 1 ) → ( 1 , 1 ) wird in dieser Schlaufe zweimal überdeckt.

Ich weiß nicht, warum diese Antwort abgelehnt wurde. Dies ist ein einigermaßen gültiges Beispiel.
Reale Systeme beschreiben kontinuierliche Trajektorien im Phasenraum. Die Diskontinuitäten dieses Systems sind Idealisierungen, die es für reale Systeme nicht gibt.
@dmckee, es ist in der Tat ein Grenzfall, aber eine kontinuierliche Annäherung macht auch Xoriles Argument, dass die geschlossenen Kurven keine Ellipsen sein dürfen (ich denke, ein Verweis auf eine frühere, weniger klare Version des OP). Außerdem ist eine abrupte Änderung der Geschwindigkeit in einfachen klassischen Systemen alltäglich (denken Sie an Kollisionen).
@dmckee Stellen Sie sich einen Ball vor, der elastisch zwischen zwei vertikalen Wänden springt. Der entsprechende Phasenverlauf wird diskontinuierlich sein. Es ist eine körperliche Bewegung. Rechts?
@SRS Ein echter Ball biegt sich . Eine echte Wand verformt sich. Dann prallen sie zurück, aber es dauert endlich. Reale Systeme haben kontinuierliche Phasentrajektorien.
@dmckee, das stimmt, aber die Form wird in diesem Zustand ungefähr quadratisch sein. Ich habe die frühere Version der Frage gelesen, ob die geschlossene Kurve elliptisch sein musste, und die Antwort darauf lautet nein, was dieses Beispiel zeigt.
Determinismus kann gelockert werden? Sie können ein stochastisches System nehmen und darin eine periodische Umlaufbahn finden, die sich selbst kreuzt?
Nein. Determinismus kann eine schwächere Definition haben als die, die Sie gegeben haben. Die Kenntnis des Phasenzustands muss Ihnen nicht sagen, was als nächstes passiert. Siehe meine Antwort für ein Beispiel.
Das ist ein System mit Gedächtnis, nicht wahr? [Damit es "wissen" kann, ob es sich in seinem 1. oder 2. Durchgang über (-1,1) -> (1,1) befindet.] Kann das nicht stattdessen als System ohne Gedächtnis in einer höherdimensionalen Phase modelliert werden? Raum? (Echte Frage, ich kenne die Antwort nicht.)
Ist die Flugbahn in geschlossener Phase ein notwendiges Merkmal jeder eindimensionalen periodischen Bewegung?
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