Tensoroperator-Analogie in der klassischen Physik

In der Quantenmechanik werden Tensoroperatoren durch ihre Kommutierung mit den Operatoren von sphärischen Drehimpulskomponenten definiert,

$$\begin{aligned} \ [L_3,T(k,q)] &= \hbar q\ T(k,q), \\ [L_\pm,T(k,q)] &= \hbar \alpha^\pm(k,q)\ T(k,q\pm1). \end{aligned}$$ Dies kann äquivalent in kartesische Koordinaten umgeschrieben werden, z. B. ein Vektoroperator $(V_i)_{i=1}^3$befriedigen muss $$[L_j, V_k] = i\hbar\ \epsilon_{jkl} V_l.$$ Das ist insofern schöner, als es nur selbstadjungierte Observablen verwendet. Was ich mich frage, ist, was dies in der klassischen Poissonschen Mechanik entspricht , wo eine analoge Bedingung wäre $$\{L_j,V_k\} = \epsilon_{jkl} V_l \label{1}\tag{1}$$ für drei Phasenraumfunktionen $(V_1, V_2, V_3)$. Natürlich wissen wir alle, dass Orts-, Impuls- oder Drehimpulskomponenten dies erfüllen, aber ich möchte eine allgemeine Lösung sehen.

Was ich versucht habe, ist umschreiben ($\ref{1}$) als

$$\{\epsilon_{jmn}x_mp_n, V_k\} = \epsilon_{jmn}\frac{\partial V_k}{\partial p_m}p_n - \epsilon_{jmn}x_m\frac{\partial V_k}{\partial x_n} = \epsilon_{jkl} V_l,\quad \forall j,$$ Multipliziere beide Seiten mit $j$-te Komponente eines generischen Normalenvektors $\vec n$und eine generische Verschiebung $\chi$und interpretiere die linke Seite als Term erster Ordnung in einer Taylorentwicklung, $$V_k(x_n - \chi \epsilon_{jmn}n_j x_m, p_m + \chi \epsilon_{jmn}n_j p_n) = V_k(x_n, p_m) + \chi n_j \epsilon_{jkl} V_l(x_n, p_m) + O(\chi^2),$$ Wo $V_k(x_n,p_m)$ist eine Abkürzung für $V_k(x_1,x_2,x_3,p_1,p_2,p_3)$, oder $V_k(\vec x, \vec p)$. Dies kann potenziert werden, um zu erhalten $$V_k\big(\exp(-\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} x_m,\,\exp(\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} p_n\big) = \exp(\chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{kl} V_l(x_n,p_m).$$ Die Exponentiale bezeichnen nun Rotationsmatrizen um $\vec n$durch den Winkel $\pm\chi$, $$\exp(\pm \chi n_j \epsilon_{j\bullet\bullet})_{mn} = R(\vec n,\pm \chi)_{mn},$$ also bekommen wir das $\vec V = (V_1, V_2, V_3)$befriedigen muss $$\vec V(R(\vec n,-\chi)^T \vec x, R(\vec n,\chi)\vec p) = R(\vec n,\chi) \vec V(\vec x, \vec p).$$ Wir verwenden auch die Orthogonalität von $R$, $$R(\vec n,-\chi)^T = R(\vec n,-\chi)^{-1} = R(\vec n,\chi) =: R,$$ So $$\vec V(R \vec x, R \vec p) = R \vec V(\vec x, \vec p).$$

Bezeichnung$\vec{\tilde{x}} = R \vec{x}$Und$\vec{\tilde{p}} = R \vec{p}$, wir bekommen

$$\vec V(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}) = R \vec V(R^{-1} \vec{\tilde{x}}, R^{-1} \vec{\tilde{p}}).$$ Jetzt sind die Argumente auf der rechten Seite $\vec x$, $\vec p$zurückgerechnet aus $\vec{\tilde{x}}$, $\vec{\tilde{p}}$, in das Untransformierte eingespeist $\vec V$, und kovariant (NB: kein Unterschied zwischen kovariant und kontravariant in $SO(3)$) in die Tildebasis umgewandelt. Dies ist genau die vollständige Transformationsregel eines Vektorfeldes, also ist die RHS gleich $\vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}})$, oder $$\vec V(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}) = \vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{x}}, \vec{\tilde{p}}). \label{2}\tag{2}$$ Dies würde bedeuten, dass die Funktionen $(V_k)_{k=1}^3$erfüllen ( $\ref{1}$), wenn und nur wenn die Behandlung als Vektorfeld und die Transformation in eine gedrehte Basis dasselbe wäre, als würde man nur die transformierten Koordinaten in die ursprünglichen (nicht transformierten) Funktionen stecken , oder dass ihre funktionale Form unter der Vektorfeldrotation invariant ist. Dies scheint eine ziemlich starke Bedingung zu sein, die nicht viele Dinge erfüllen würden, die ich früher als Vektorfelder bezeichnet habe. Nehmen wir zum Beispiel ein konstantes Vektorfeld, sagen wir $\vec V(\vec r, \vec p) = (0, 0, -g)^T$. Bei einer Rotationsbasis diktieren die Transformationsregeln $\vec{\tilde{V}}(\vec{\tilde{r}}, \vec{\tilde{p}}) = R\cdot(0,0,-g)^T$, die im Allgemeinen drei verschiedene Konstanten als sind $0$, $0$Und $-g$. So ( $\ref{2}$) gebrochen ist, was mit der Tatsache übereinstimmt, dass eine Poisson-Klammer der Form ( $\ref{1}$) mit einer Konstante $V_k$ist null, anstatt $\epsilon_{jkl}V_l$.

Ein Beispiel für$(V_k)_{k=1}$das entspricht ($\ref{1}$) sind die kanonischen Projektionen

$$\begin{aligned} V_1(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= x, \\ V_2(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= y, \\ V_3(x, y, z, p_x, p_y, p_z) &= z \\ \end{aligned}$$ (bekanntlich) und zwar den Radiusvektor transformieren $\vec r = (V_1, V_2, V_3) = (x,y,z)$gibt $\vec{\tilde{r}} = (\tilde x, \tilde y, \tilde z)$, dessen Komponenten die ersten drei Elemente des Tupels sind $(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z)$, So $$\begin{aligned} \tilde V_1(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde x = V_1(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z), \\ \tilde V_2(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde y = V_2(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z), \\ \tilde V_3(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) &= \tilde z = V_3(\tilde x, \tilde y, \tilde z, \tilde p_x, \tilde p_y, \tilde p_z) \\ \end{aligned}$$

Die "klassische Vektorobservable" ist also strenger als ein "Vektorfeld" über dem Phasenraum und erfordert, dass die Funktionen , die ihre Komponenten definieren, unter Drehungen (bzw$GL$transformiert, wie man analog zeigen könnte). Wie nennt man solche speziellen Vektorfelder? Oder übersehe ich etwas in meiner Ableitung?