Welche Transformationen sind kanonisch?

Beachten Sie, dass es in der Literatur verschiedene Definitionen einer kanonischen Transformation (CT) gibt:

1. Erstens, Ref. 1 und 2 definieren einen CT als Transformation$^1$

   $$(q^i,p_i)~~\mapsto~~ \left(Q^i(q,p,t),P_i(q,p,t)\right)\tag{1}$$ [zusammen mit der Wahl eines Hamiltonianers$H(q,p,t)$und ein Kamiltonier$K(Q,P,t)$; und wo$t$ist der Zeitparameter], der erfüllt $$(\sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t) -(\sum_{i=1}^nP_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t) ~=~\mathrm{d}F\tag{2}$$ für eine erzeugende Funktion$F$.

2. Zweitens nennt Wikipedia (Oktober 2015) eine Transformation (1) [zusammen mit einer Auswahl von$H(q,p,t)$und$K(Q,P,t)$] ein CT , wenn es die Hamilton-Gleichungen transformiert. in Kamiltons Gl. Dies wird in Lit. als Kanonoid-Transformation bezeichnet . 3.

3. Drittens Ref. 3 nennt eine Transformation (1) ein CT if$\forall H(q,p,t) \exists K(Q,P,t)$so dass die Transformation (1) die Hamilton-Gleichungen transformiert. in Kamiltons Gl.

4. Viertens verwenden einige Autoren (z. B. Lit. 4) das Wort CT nur als ein anderes Wort für einen Symplektomorphismus $f:M\to M$[was von einem Parameter abhängen kann$t$] auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit$(M,\omega)$, dh

   $$f^{\ast}\omega=\omega.\tag{3}$$ Hier$\omega$ist die symplektische Zweierform, die in lokalen Darboux/kanonischen Koordinaten lautet$\omega= \sum_{i=1}^n\mathrm{d}p_i\wedge \mathrm{d}q^i$. Ein Symplektomorphismus bewahrt die Poisson-Klammer .

5. Fünftens, Ref. 1 definiert eine erweiterte kanonische Transformation (ECT) als eine Transformation (1) [zusammen mit einer Auswahl von$H(q,p,t)$und$K(Q,P,t)$] das genügt

   $$\lambda(\sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t) -(\sum_{i=1}^nP_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t) ~=~\mathrm{d}F \tag{4}$$ für einige Parameter$\lambda\neq 0$und für einige erzeugende Funktion$F$.

Lassen Sie uns nun einige der Beziehungen zwischen den oben genannten fünf verschiedenen Definitionen diskutieren.

1. Die erste Definition ist ein ECT mit$\lambda=1$. Ein ECT erfüllt die zweite Definition, aber nicht unbedingt umgekehrt, vgl. zB dieser und dieser Phys.SE-Beitrag.

2. Die erste Definition ist ein Symplektomorphismus (durch Vergessen von$H$und$K$). Umgekehrt kann es globale Hindernisse für einen Symplektomorphismus geben, um die erste Definition zu erfüllen. Ein Symplektomorphismus, der ausreichend nahe an der Identitätskarte liegt und innerhalb eines einzelnen Darboux-Koordinatendiagramms definiert ist, erfüllt jedoch die Teile der ersten Definition, die nicht betroffen sind$H$und$K$. Siehe auch zB meine Phys.SE-Antwort hier .

3. Eine ECT ist nicht unbedingt ein Symplektomorphismus. Gegenbeispiel:

   $$Q~=~\lambda q, \qquad P=p \qquad K~=~\lambda H, \qquad F~=~0,\tag{5}$$ wo$\lambda\notin \{0,1\}$eine von Null und Eins verschiedene Konstante ist, so dass die Poisson-Klammer nicht erhalten bleibt $$\{Q,P\}_{PB}~=~\lambda \{q,p\}_{PB}~\neq~\{q,p\}_{PB}~=~1. \tag{6}$$

Verweise:

1. H. Goldstein, Klassische Mechanik; Kapitel 9. Siehe Text unter Gl. (9.11).

2. LD Landau und EM Lifshitz, Mechanik; $\S45$. Siehe Text zwischen Gl. (45.5-6).

3. JV Jose & EJ Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, 1998; Unterabschnitt 5.3.1, p. 233.

4. VI Arnold, Mathematische Methoden der klassischen Mechanik, 2. Aufl., 1989; Sehen$\S$44E und Fußnote 76 auf p. 241.

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$^1$Obwohl Ref. 1 und Ref.-Nr. 2 dies nicht explizit erwähnen, wird implizit vorausgesetzt, dass die Abbildung (1) eine hinreichend glatte Bijektion , zB ein Diffeomorphismus [der glatt vom Zeitparameter abhängt$t$]. Ähnliche Glättebedingungen werden implizit angenommen$H$,$K$, und$F$.