Wie wird die Beziehung zwischen den alten und den neuen kanonischen Variablen begründet?

Question

Wie wird die Beziehung zwischen den alten und den neuen kanonischen Variablen begründet?

Yejus

In der klassischen Hamilton-Mechanik eine kanonische Transformation der Phasenraumkoordinaten $(p,q,t) \to (P,Q,t)$ ist so, dass die allgemeine Form der Hamilton-Gleichungen befolgt wird und das Hamilton-Prinzip befolgt wird:

\begin{matrix} (1) & δ \int_{T_{0}}^{T_{1}} (P_{ich} \dot{Q_{ich}} - K (Q, P, T)) D T = 0 \end{matrix}

$\delta \int_{t_0}^{t_1} \left (P_i \dot{Q_i} - K (Q,P,t)\right) \, \mathrm{d}t = 0\tag{1}$

für einen neuen Hamiltonianer $K$ wie vor der Verwandlung,

\begin{matrix} (2) & δ \int_{T_{0}}^{T_{1}} (P_{ich} \dot{Q_{ich}} - H (Q, P, T)) D T = 0 \end{matrix}

$\delta \int_{t_0}^{t_1} \left (p_i \dot{q_i} - H (q,p,t)\right) \, \mathrm{d}t = 0\tag{2}$

für den alten Hamiltonian, $H$ . Mehrere Lehrbücher erwähnen dann die notwendige Beziehung zwischen den Integranden in den beiden obigen Gleichungen

\begin{matrix} (3) & λ (P_{ich} \dot{Q_{ich}} - H) = P_{ich} \dot{Q_{ich}} - K + \frac{D F}{D T} . \end{matrix}

$\lambda (p_i \dot{q_i} - H) = P_i \dot{Q_i} - K + \frac{\mathrm d F}{\mathrm d t}.\tag{3}$

Meine Frage ist, wie ist die obige Beziehung gerechtfertigt?

QMechaniker

Welche mehrere Lehrbücher?

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Wie wird die Beziehung zwischen den alten und den neuen kanonischen Variablen begründet?

QMechaniker · Answer 1

Das scheint ein Missverständnis zu sein. Die Off-Shell- Beziehung (3) mit $\lambda\neq 0$ ist eine hinreichende (im Gegensatz zu einer notwendigen ) Bedingung dafür, dass die stationären Wirkungsprinzipien (1) und (2) äquivalent sind, dh dieselben stationären Pfade im Phasenraum haben. Diese Pfade sind Lösungen der Kamilton- bzw. Hamilton-Gleichungen.

Für die verschiedenen Definitionen einer kanonischen Transformation (CT) siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

Wie wird die Beziehung zwischen den alten und den neuen kanonischen Variablen begründet?

Yejus

QMechaniker

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QMechaniker

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