Ableitung der Hamilton-Jacobi-Theorie unter Verwendung kanonischer Transformationen

Ja! Das können wir auf jeden Fall. Es wird jedoch keinen Unterschied machen.

Die Idee hinter der Hamilton-Jacobi-Gleichung ist, dass wir nicht irgendeinen Generator betrachten, sondern speziell den Generator, der uns zu den Koordinaten bringt$\{Q, P\}$so dass der neue Hamiltonian$K$("Kamiltonian", wie Goldstein darauf verweist) ist jetzt 0. Also:

$$\frac{\partial K}{\partial Q_i} = - \dot{P_i} = 0 \Rightarrow P_i = \alpha_i$$ $$\frac{\partial K}{\partial P_i} = \dot{Q_i} = 0 \Rightarrow Q_i = \beta_i$$

Die neuen Koordinaten sind also Bewegungskonstanten. Dies bedeutet, dass die Aktion immer in Bezug auf die alten Koordinaten und Impulse erfolgen wird, egal wie wir sie definieren. Aktion als Konvention wird jedoch fast immer in Koordinaten geschrieben, wie sie durch das Integral der Lagrange-Funktion gegeben sind.

Hoffentlich hilft das!