Finden Sie die erzeugende Funktion F1F1F_1 für die kanonische Transformation

Question

Finden Sie die erzeugende Funktion F1F1F_1 für die kanonische Transformation

Sonnenaufgang

Ich würde gerne die Schritte kennen, die zu befolgen sind, um die Erzeugungsfunktion zu finden $F_1(q,Q)$ eine kanonische Transformation gegeben.

Zum Beispiel in Anbetracht der Transformation

Q = Q^{1 / 2} e^{- P}

$q=Q^{1/2}e^{-P}$

P = Q^{1 / 2} e^{P}

$p=Q^{1/2}e^P$

Ich habe gedacht, p und P zu finden:

P = \frac{Q}{Q}

$p=\frac{Q}{q}$

P = \frac{1}{2} \ln Q - \ln Q

$P=\frac{1}{2}\ln Q-\ln q$
Und so unter Verwendung der Definition der erzeugenden Funktion

F_{1} (q, Q)

$F_1(q,Q)$ :

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial F_{1}}{\partial Q} \equiv P = \frac{Q}{Q} \end{matrix}

$\tag{1}\frac{\partial F_1}{\partial q} \equiv p =\frac{Q}{q}$

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial F_{1}}{\partial Q} \equiv - P = \ln Q - \frac{1}{2} \ln Q \end{matrix}

$\tag{2}\frac{\partial F_1}{\partial Q} \equiv -P = \ln q-\frac{1}{2}\ln Q$

Dann habe ich daran gedacht, diese Beziehungen zu integern und ich habe erhalten:

F_{1} = Q \ln Q + F (Q)

$F_1=Q\ln q + f(Q)$

F_{1} = Q \ln Q - \frac{1}{2} (Q \ln Q - Q)

$F_1=Q\ln q-\frac{1}{2}(Q\ln Q-Q)$

Das Ergebnis muss sein:

F_{1} = Q \ln Q - \frac{1}{2} (Q \ln Q - Q)

$F_1=Q\ln q-\frac{1}{2}(Q\ln Q-Q)$

Jetzt versuche ich, die allgemeine Regel zu finden:

Am Anfang habe ich gedacht, dass ich die beiden zusammenzählen muss $F_1$ , aber dann ist das Ergebnis falsch. Und deshalb frage ich Sie: Muss ich die beiden Relationen ganzzahlig machen und dann als nehmen $F_1$ diese Beziehung, die sowohl (1) als auch (2) bestätigt?

Wladimir Kalitwjanski

Nur zum allgemeinen Verständnis: Wenn Sie einige gute Bewegungsgleichungen haben, sind alle reversiblen Variablenänderungen gut, auch wenn sie möglicherweise keine kanonische Form neuer Gleichungen erhalten ;-)

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Nur zum allgemeinen Verständnis: Wenn Sie einige gute Bewegungsgleichungen haben, sind alle reversiblen Variablenänderungen gut, auch wenn sie möglicherweise keine kanonische Form neuer Gleichungen erhalten ;-)

Emilio Pisanty · Answer 1

Ihre Argumentation ist nicht besonders klar (und die Frage könnte von einer Ausarbeitung der Details profitieren), aber sie sieht bis zur Formulierung der Differentialgleichungen für richtig aus $F_1$ :

{\begin{cases} \frac{\partial F_{1}}{\partial Q} = \frac{Q}{Q}, \\ \frac{\partial F_{1}}{\partial Q} = \ln Q - \frac{1}{2} \ln Q . \end{cases}

$\begin{cases}\frac{\partial F_1}{\partial q}=\frac{Q}{q},\\ \frac{\partial F_1}{\partial Q}=\ln q-\frac{1}{2}\ln Q.\end{cases}$ Sie haben das erste einfach integriert, ohne darauf zu achten, ob es dem zweiten noch gehorcht, was nicht der Fall ist. Wenn Sie die zweite direkt integrieren, erhalten Sie die gesuchte Antwort.

Im Allgemeinen wird dies auch nicht funktionieren (z. B. wenn die erste Gleichung die Form hatte $\frac{\partial F_1}{\partial q}=\frac{Q}{q}+f(q)$ würde es nicht), also müssen Sie Ihr Bestes tun, um die Funktion zu finden, die beiden Gleichungen gehorcht. (Im allgemeinsten Fall ist dies natürlich unmöglich, aber die Bedingung, dass die Transformation kanonisch ist, besagt im Wesentlichen, dass dies möglich ist.)

danke für deine antwort, aber welche allgemeinen schritte sind zu finden $F_1$ ? Ich habe solche Übungen noch nie zuvor gemacht, also weiß ich nicht, wie ich in solchen Fällen vorgehen soll ... Ich versuche, die Schritte zu finden, denen ich immer folgen kann, um sie zu finden $F_1$ ..
So wie du es oben gemacht hast. Finde die partiellen Ableitungen von $F_1$ wrt $q$ Und $Q$ (bezüglich $q$ Und $Q$ , natürlich!) und integrieren.

Santhanu Sasikumar · Answer 2

Für die erzeugende Funktion $F_1(q,Q)$ , wir haben $\mathrm{d}F_1/\mathrm{d}q = p$ Und $p = Q/q$

Dann

\begin{matrix} (1) & F_{1} = Q \ln (Q) + K_{1} (Q) \end{matrix}

$F_1 = Q\ln(q) + K_1(Q)\tag{1}$ und auch

\begin{matrix} (2) & D F_{1} / D Q = - P \end{matrix}

$\mathrm{d}F_1/\mathrm{d}Q =-P\tag{2}$ Und

\begin{matrix} (A) & P = \ln (Q / Q) - (1 / 2) \ln (Q) \end{matrix}

$P=\ln(Q/q)-(1/2)\ln(Q)\tag{a}$

Gleichung ersetzen $(a)$ In $(2)$ und integrieren

\begin{matrix} (3) & F_{1} = - (1 / 2) (Q \ln (Q) - Q) + Q \ln (Q) + K_{2} (Q) \end{matrix}

$F_1 =-(1/2)(Q\ln(Q)-Q) + Q\ln(q) + K_2(q)\tag{3}$

vergleichen $(1)$ Und $(3)$ wir bekommen

F_{1} = - (1 / 2) (Q \ln (Q) - Q) + Q \ln (Q)

$F_1 = -(1/2)(Q\ln(Q)-Q) + Q\ln(q)$

mit

K_{2} (Q) = 0 Und K_{1} (Q) = - (1 / 2) (Q \ln (Q) - Q)

$K_2(q)= 0 \text{ and }K_1(Q) = -(1/2)(Q\ln(Q)-Q)$

(Hier $\mathrm{d}()/\mathrm{d}q$ Und $\mathrm{d}()/\mathrm{d}Q$ stehen eigentlich für die partiellen Ableitungen in Bezug auf $q$ Und $Q$ )

Willkommen auf der Seite! Sie können die LaTeX-Notation verwenden, indem Sie Ihre Mathematik $ ... $ (und $$ ... $$auch) darin einschließen, um Ihren Beitrag lesbarer zu machen.

Superschnelle Qualle · Answer 3

Wählen Sie zunächst einen Typ der erzeugenden Funktion aus. Sagen $F_1(q,Q)$ dann sind die entsprechenden Relationen $\frac{\partial{F_1}}{\partial{q}} = p$ Und $\frac{\partial{F_1}}{\partial{Q}} = -P$ Die allgemeine Methode ist zu schreiben $p$ Und $P$ in Bezug auf die Variablen Ihrer Funktion, die in diesem Fall sind $q$ Und $Q$ . Dann verwenden Sie die Beziehungen und integrieren, um die erzeugende Funktion zu finden.

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