Wie die Periode angezeigt wird, ist definiert durch T = dS / dET = dS / dET = dS / dE (VI Arnold Mathematische Physik) [geschlossen]

Beachten Sie, dass die "Geschwindigkeit" im Phasenraum gegeben ist durch

$$\begin{equation} v_{\mathrm{ps}} = \sqrt{\dot{q}^2 + \dot{p}^2} = \sqrt{H_{p}^2 + H_q^2}. \end{equation}$$ Hier, $H=H(p,q)$ist der Hamiltonoperator, und $H_p$Und $H_q$sind Kurzform für $\partial H/\partial p$Und $\partial H/\partial q$. Vorausgesetzt, es existiert eine geschlossene Konstantenergiekurve im entsprechenden Phasenraum $H(p,q) = E$, die Periode wird durch gegeben $$\begin{equation} T(E) = \oint_{\partial D(E)}\frac{dl}{v_{\mathrm{ps}}} = \oint_{\partial D(E)}\frac{dl}{\sqrt{H_{p}^2 + H_q^2}} , \end{equation}$$ Wo $dl$ist ein infinitesimales Längenelement entlang der Kurve. Die Symbole $D(E)$Und $\partial D(E)$bezeichnen jeweils den durch die Konstantenergiekurve und die Kurve selbst begrenzten Bereich.

Als nächstes das Gebiet der Region$D(E)$wird von gegeben

$$\begin{equation} S(E) = \int_{D(E)} dpdq. \end{equation}$$ Man kann eine Variablenänderung von ( $p,q$) Zu ( $E,l$), Wo $l$für ein gegebenes $E$parametrisiert die Konstantenergiekurve so, dass $dl$ist sein infinitesimales Längenelement. Grundsätzlich sollte man die zugehörige Jacobi-Determinante berechnen. Aber eine einfache Möglichkeit, dies zu umgehen, besteht darin, zunächst zu beachten, dass das Flächenelement des Phasenraums geschrieben werden kann als $dl_E\, dl$, Wo $dl_{E}$ist das Längenelement in der Richtung senkrecht zu einer Konstantenergiekurve. Es ist verwandt mit $dE$folgendermaßen: $$\begin{equation} dl_{E} = \frac{dE}{|\nabla H|}=\frac{dE}{\sqrt{H_p^2 + H_q^2}}. \end{equation}$$ Deshalb, $$\begin{equation} S(E) = \int_{E_{\min}}^{E}dE^{\prime} \oint_{\partial D(E^{\prime})} \frac{dl}{\sqrt{H_p^2 + H_q^2}} . \end{equation}$$ Vergleichen Sie die Ausdrücke für $T(E)$Und $S(E)$führt zum gewünschten Ergebnis.