Warum hat der Neigungswinkel keinen Einfluss darauf, wie hoch ein gestartetes Objekt eine reibungslose Rampe hinaufrutscht?

Die Tatsache, dass die Steigung reibungsfrei ist, erlaubt uns, den Energieerhaltungsansatz zu verwenden, der uns sagt, dass „die Box basierend auf dieser Menge an anfänglicher kinetischer Energie so hoch gehen wird“.

Nehmen Sie die Instanz, wo die „Steigung“ ist$90^\circ$. Die Box bewegt sich gerade nach oben mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 10 m/s. Wie hoch geht es? Wir können die kinematische Gleichung verwenden$v_f^2-v_i^2 = 2ad$Wo$v_f=0$das zu finden$d=\frac{v_i^2}{2g}=5m$genau wie es im ersten Teil der Lösung gezeigt wird.

Was ändert sich also mit dem Winkel? Die entlang der Steigung zurückgelegte Strecke hängt vom Winkel ab. Auch bei der rein vertikalen Annäherung stellen wir fest, dass die Höhe 5 m beträgt und die entlang der Steigung zurückgelegte Strecke die gleichen 5 m beträgt. Nimm dann aber die Steigung an$10^\circ$. Die Box erreicht immer noch eine Höhe von 5 m, hat aber die Steigung satte 29 m zurückgelegt!

Der Grund, warum Ihre Anwendung der kinematischen Gleichungen nicht funktioniert hat, um die Höhe zu finden, liegt darin, dass die Schwerkraft nicht die einzige Kraft ist, die in vertikaler Richtung auf die Box wirkt. Die Normalkraft$N$von der Rampe hat auch eine vertikale Komponente, und so ist die vertikale Beschleunigung nicht allein auf die Schwerkraft zurückzuführen.

Um herauszufinden, was die vertikale Beschleunigung tatsächlich ist, stellen wir fest, dass wir haben müssen$a_y = a_x \tan \theta$(mit$\theta = 37^\circ$); dies ergibt sich aus der Bedingung, dass der Beschleunigungsvektor die Steigung tangiert. Darüber hinaus haben wir aus den horizontalen und vertikalen Komponenten des zweiten Newtonschen Gesetzes

Wir können auch sehen, dass die Auswirkungen der Normalkraft größer sind, wenn der Winkel$\theta$ist klein. Bei sehr allmählichen Steigungen hebt die Normalkraft die vertikale Beschleunigung fast auf, was bedeutet, dass$a_y$ist klein; aber die Anfangsgeschwindigkeit in der$y$-Richtung ist auch klein. Bei sehr steilen Hängen ist die Normalkraft viel kleiner, das heißt$a_y$ist näher dran$g$; aber die Anfangsgeschwindigkeit in der$y$-Richtung ist auch größer. Die beiden Faktoren (größere/kleinere Anfangsvertikalgeschwindigkeit und größere/kleinere Vertikalbeschleunigung) heben sich gegenseitig auf, so dass das Endergebnis$y$-Koordinate ist unabhängig vom Winkel.

Dieses Ergebnis ist natürlich viel einfacher aus der Energieeinsparung zu sehen! Tatsächlich können viele (alle?) Probleme dieser Art zumindest im Prinzip durch die Anwendung der Newtonschen Gesetze gelöst werden. Die Energieeinsparung (und übrigens auch die Impulserhaltung) kann man sich als „Cheat-Code“ für Newtons Gesetze vorstellen, der es uns ermöglicht, harte Arbeit zu vermeiden, wie ich es oben getan habe.

Die Kiste wird durch die Gewichtskomponente parallel zur Ebene abgebremst. Ist die Ebene steiler (Winkel größer) ist die Beschleunigung größer und die Box stoppt nach kurzer Zeit. Wenn der Winkel klein ist, ist die Beschleunigung klein und die Kiste bewegt sich länger, bevor sie stoppt. Aber auf der anderen Seite muss man auf einer Ebene mit niedrigem Winkel weiter reisen, um die gleiche Höhe zu erreichen. Am Ende zeigt die Mathematik, dass sich diese beiden Effekte kompensieren und Sie unabhängig vom Winkel die gleiche Höhe erreichen. Dies gilt natürlich, wenn keine Reibung vorhanden ist. Bei Reibung hängt die Höhe vom Winkel ab.

Ihre Frage wurzelt hauptsächlich in dem, was Ihnen Ihre Intuition sagt, daher versucht diese Antwort, mit einer intuitiven Erklärung zu antworten - nicht mit einer formelmäßig präzisen.

Bei einer reibungslosen Steigung ist die einzige Bremskraft die Schwerkraft, die gerade nach unten zeigt. Dies führt dazu, dass wir nur die vertikale Komponente eines Objekts im freien Fall (wenn es mit einer bestimmten Neigung gestartet wird) berücksichtigen müssen, wenn wir eine Frage nach der Höhe beantworten, die es erreichen wird.

Aus diesem Grund gehen Sie vermutlich davon aus, dass die horizontale Komponente einfach ignoriert werden kann, aber Sie haben die Tatsache beschönigt, dass es hier eine (reibungslose) Steigung gibt, die das Verhalten ändert.

Da es sich um eine Neigung handelt, muss die gesamte Geschwindigkeit (horizontal und vertikal) überwunden werden, bevor die Kiste wieder nach unten fällt. Daher kann dies als ein Kampf zwischen der Schwerkraft und der vollen Geschwindigkeit der Box angesehen werden.

Intuitiv scheint es, je höher die Neigung ist, desto höher würde die Box gehen.

Ihre Intuition ist richtig für ein Objekt im freien Fall (das mit einer Neigung gestartet wurde), da es seine horizontale Komponente glücklich beibehalten kann, während gleichzeitig seine vertikale Komponente durch die Schwerkraft verändert wird. Je weicher die Neigung ist, desto kleiner ist die vertikale Komponente (unter der Annahme der gleichen Gesamtgeschwindigkeit unabhängig von der Neigung). Je kleiner die vertikale Komponente ist, desto schneller wird sie von der Schwerkraft überwunden, was zu einer geringeren Höhe im Vergleich zum Start mit einer höheren Neigung führt.

Im Fall eines gestarteten Objekts (keine Neigung) wird die horizontale Komponente vollständig ignoriert, da sie unabhängig von der vertikalen Komponente bleibt. In diesem Szenario betrachten Sie tatsächlich nur die vertikale Komponente.

Völlig informelle, aber hoffentlich hilfreiche Art, darüber nachzudenken: Auch wenn die Schwerkraft den Kampf gewinnt und der vertikalen Komponente entgegenwirkt, bewegt sich die Box immer noch seitwärts; Die Neigung verwandelt diese Seitwärtsbewegung in eine Aufwärtsbewegung, die dann wieder gegen die Schwerkraft ankämpft. Aus diesem Grund trägt
die horizontale Komponente zur vertikalen Komponente bei, wenn es eine Neigung gibt, die das eine in das andere umwandelt.

Da die Neigung reibungsfrei ist, erfolgt die Umwandlung von der Horizontalen in die Vertikale mit 100%iger Effizienz (ohne jegliche Verluste), weshalb wir davon ausgehen können, dass die gesamte horizontale Geschwindigkeit in genau die gleiche Menge an vertikaler Geschwindigkeit umgewandelt wird. Daher kommt die Box nur dann zum Stillstand, wenn sowohl die vertikale als auch die horizontale Geschwindigkeit 0 erreichen.

Im Wesentlichen verbindet die Neigung die horizontalen und vertikalen Komponenten so miteinander, dass sie zusammen leben und sterben. Wenn Sie dies als Kampf der Kräfte sehen, ist es ein Kampf der Schwerkraft in einer Ecke und der kombinierten horizontalen und vertikalen Kräfte (dh der Gesamtgeschwindigkeit der Box) in der anderen Ecke.

Der einzige Grund, warum Sie die Neigung berücksichtigen müssen, ist, wenn Sie die horizontalen und vertikalen Komponenten trennen möchten. was Sie hier einfach nicht tun müssen.

Die Beziehung, die Sie geschrieben haben