Warum erfordert die Berechnung der potenziellen Gravitationsenergie im Fall der fallenden Kette die Hälfte der Gesamtlänge?

Question

Warum erfordert die Berechnung der potenziellen Gravitationsenergie im Fall der fallenden Kette die Hälfte der Gesamtlänge?

Mathejunior

Beachten Sie in diesem Fall, dass es geschrieben steht: $\displaystyle\frac{my}{l}g\frac {y}{2}$ . Soll die Länge nicht die Gesamthöhe der fallenden Kette sein, also $y$ anstatt $\dfrac {y}{2}$ Wo steht die Höhe?

Bitte erkläre.

Benutzer154997

Betrachten Sie zwei kleine Segmente der Kette, eines unten und eines in der Nähe des Randes. Haben sie die gleiche potentielle Energie? Wenn nicht, wie würden Sie dann ihre kombinierte potentielle Energie berechnen? Wie würden Sie auf die gesamte Kette verallgemeinern?

Mathejunior

@LucJ.Bourhis Okay ja. Wenn wir die Masse jedes kleinen Teils und dann das PE dieses Segments berücksichtigen, können wir dann alle diese Segmente von unten nach oben addieren und erhalten es. Können Sie es einfach formal mit der Integration schreiben?

Benutzer154997

Das ist es, wozu ich Sie in der Tat führen wollte: Eine Summe unendlich kleiner Bits ist mathematisch gesehen formal ein Integral.

Mathejunior

@LucJ.Bourhis Ja, ich habe die Idee intuitiv. Nur um es zu formalisieren, wie schreibt man es mathematisch?

Benutzer154997

Geben Sie eine Masse pro Längeneinheit ein

μ

$\mu$ , dann die potentielle Energie von etwas Länge

d z

$dz$ auf einer Höhe

z

$z$ über dem unteren Ende der Kette ist was? Und

z

$z$ variiert zwischen ? Und ? Wenn Sie diese Fragen beantworten, haben Sie Ihr Integral. Das letzte Stück wird sein, sich daran zu erinnern, was die Masse des hängenden Teils der Kette in Bezug auf ist

μ

$\mu$ .

Antworten (2)

Warum erfordert die Berechnung der potenziellen Gravitationsenergie im Fall der fallenden Kette die Hälfte der Gesamtlänge?

Betrachten Sie zwei kleine Segmente der Kette, eines unten und eines in der Nähe des Randes. Haben sie die gleiche potentielle Energie? Wenn nicht, wie würden Sie dann ihre kombinierte potentielle Energie berechnen? Wie würden Sie auf die gesamte Kette verallgemeinern?
@LucJ.Bourhis Okay ja. Wenn wir die Masse jedes kleinen Teils und dann das PE dieses Segments berücksichtigen, können wir dann alle diese Segmente von unten nach oben addieren und erhalten es. Können Sie es einfach formal mit der Integration schreiben?
Das ist es, wozu ich Sie in der Tat führen wollte: Eine Summe unendlich kleiner Bits ist mathematisch gesehen formal ein Integral.
@LucJ.Bourhis Ja, ich habe die Idee intuitiv. Nur um es zu formalisieren, wie schreibt man es mathematisch?
Geben Sie eine Masse pro Längeneinheit ein $\mu$ , dann die potentielle Energie von etwas Länge $dz$ auf einer Höhe $z$ über dem unteren Ende der Kette ist was? Und $z$ variiert zwischen ? Und ? Wenn Sie diese Fragen beantworten, haben Sie Ihr Integral. Das letzte Stück wird sein, sich daran zu erinnern, was die Masse des hängenden Teils der Kette in Bezug auf ist $\mu$ .

Sammy Rennmaus · Answer 1

Die potentielle Energie des hängenden Teils der Kette ist die potentielle Energie seines Massenschwerpunkts, der ist $y/2$ unter dem Tisch. Die auf dem Tisch verbleibende Masse (vorher und nachher) kann vernachlässigt werden, da sich der PE dieses Teils nicht ändert.

Es besteht keine Notwendigkeit, entlang des hängenden Teils der Kette zu integrieren, um seine potentielle Energie zu finden, da die Masse pro Längeneinheit der Kette konstant ist und die Schwerkraft konstant ist. Die gleiche Antwort erhalten Sie, wenn Sie die Gesamtmasse des hängenden Teils und die Position seines Massenschwerpunkts verwenden.

Jnan · Answer 2

Eine Kette unterschiedlicher Länge besitzt beim Aufhängen an verschiedenen Stellen unterschiedliche potentielle Energie. Der unterste Punkt besitzt die niedrigste und der oberste Punkt hat die höchste potentielle Energie unter allen anderen Punkten. Dies liegt daran, dass die Position der Kette von der Bezugsebene aus nicht gut definiert ist. In diesen Situationen können wir zwei Methoden anwenden, um die potentielle Energie zu finden.

Methode 1 In dieser Situation kommt immer der Massenschwerpunkt ins Spiel. Wenn wir die Masse entlang der Länge der Saite an einem Punkt konzentrieren, kann die potentielle Energie leicht herausgefunden werden (da jetzt die Position sehr genau definiert ist). Bei einer Kette mit gleichmäßiger Dichte liegt er am Mittelpunkt der Kette.

Methode 2 Obwohl ein etwas längerer Ansatz als Methode 1, ist es konzeptionell eine bessere Methode. Da die potentielle Energie entlang der Saite nicht konstant ist, nehmen Sie ein unendlich kleines Stück der Kette. Finden Sie die potentielle Energie der Kette an diesem Punkt und integrieren Sie sie dann, um die potentielle Energie für die gesamte Kette zu finden.

Beide Methoden werden Sie schließlich zum gleichen Ergebnis bringen.

Warum erfordert die Berechnung der potenziellen Gravitationsenergie im Fall der fallenden Kette die Hälfte der Gesamtlänge?

Mathejunior

Benutzer154997

Mathejunior

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Mathejunior

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