Problem der physikalischen Kette

Das konzeptionelle Problem scheint zu sein

Es gibt jedoch keine Möglichkeit, die Reibung für das Seil zu definieren, da es zwei Teile mit scheinbar unterschiedlichen potenziellen Energien hat.

Machen Sie sich keine Sorgen um die "eindeutigen potentiellen Energien". Sie können den Gewinn an potenzieller Energie einfach für jeden Teil separat berechnen. Für das bereits herunterhängende Gebiss bewegt sich der Massenmittelpunkt, wenn das Seil um eine bestimmte Strecke gleitet, um dieselbe Strecke. Bei dem Seilstück, das horizontal beginnt, hat sich sein Massenschwerpunkt halbiert, wenn das letzte Stück über die Kante geht.

Bleibt noch die Berechnung der durch Reibung geleisteten Arbeit. Wenn Sie Ihre Kette wie einen Zug mit vielen Waggons betrachten, dann können Sie für jeden Waggon im Zug die durch Reibung geleistete Arbeit berücksichtigen. Mit anderen Worten - für ein infinitesimales Element$d\ell$das fängt mit Abstand an$x$von der Kante ist die Reibungskraft$\mu \frac{d\ell}{L} m g$und die geleistete Arbeit ist$F \cdot x$.

Wenn Sie die Arbeit für all diese Elemente zusammenfassen, erhalten Sie die geleistete Gesamtarbeit. Das ist ein einfaches Integral.

Im Sinne von „hausaufgabenähnlichen Fragen“ überlasse ich Ihnen diese Hinweise.

Ja, die Arbeits-Energie-Methode kann angewendet werden. Die besonderen Schwierigkeiten, die Sie bemerkt haben, können behandelt werden, indem Sie die Kette in zwei Teilen betrachten: den herunterhängenden Teil (der PE verliert, aber keine Reibung erfährt) und den Teil, der auf dem Tisch bleibt (der PE nicht verliert, aber Reibung erfährt).

Angenommen, die Masse der Kette ist$M$. In der Ausgangsstellung befindet sich der CM des überragenden Abschnitts$\frac{d}{8}$unter dem Tisch. Der auf dem Tisch verbleibende Abschnitt hat$0$SPORT. Also ist das anfängliche PE der Kette relativ zur Tabelle$-\frac14Mg(\frac{d}{8}) = -\frac{1}{32} Mgd$. Wenn das letzte Glied der Kette vom Tisch rutscht, dann ist das CM der ganzen Kette$\frac{d}{2}$Unterhalb der Tabelle befindet sich also das PE$-\frac12 Mgd$. Die PE-Abnahme ist
$(\frac12-\frac{1}{32})Mgd = \frac{15}{32}Mgd.$

Wenn die Länge y der Kette auf dem Tisch bleibt, dann ist die Reibungskraft darauf$\frac15Mg\frac{y}{d}$Wo$\frac15$ist der Reibungskoeffizient. Die geleistete Arbeit gegen Reibung ist
$\int \frac15 Mg\frac{y}{d}dy = \frac15 Mg[\frac{1}{2d}y^2] = \frac{9}{160}Mgd$
woher die Integrationsgrenzen kommen$y=\frac34d$Zu$0$.

Der KE der Kette, wenn das letzte Glied vom Tisch rutscht, ist also
$\frac12MV^2 = (\frac{15}{32}-\frac{9}{160})Mgd$
$V^2=\frac{33}{40}gd$
wobei V die Geschwindigkeit an diesem Punkt ist.

Alternativ können Sie das 2. Newtonsche Gesetz anwenden:
$F = M\frac{dv}{dt} = M\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt} = -Mv\frac{dv}{dy}$.

Wenn die Länge y auf dem Tisch bleibt, ist die Kraft, die die Kette beschleunigt$Mg\frac{d-y}{d}$, während die Reibungskraft die Bewegung verzögert$\frac15Mg\frac{y}{d}$.

Die Bewegungsgleichung ist
$-Mv\frac{dv}{dy} = Mg(1-\frac{y}{d}) - \frac15Mg\frac{y}{d} = (1-\frac65\frac{y}{d})Mg$
$2v\frac{dv}{dy} = (2\frac65\frac{y}{d}-2)g$
$v^2 = (\frac65\frac{y^2}{d}-2y)g$.

Die Grenzen der Integration sind$v=0$Zu$V$Und$y=\frac34d$Zu$0$. So$V^2 = (\frac65(0-\frac{9}{16}d)-2(0-\frac34d))g = \frac{33}{40}gd$.