Ball rollt in eine Schüssel - wo ist seine maximale KE (Geschwindigkeit) ... vorausgesetzt, es gibt Reibung. Siehe Zeichnung

ohne Reibung ist es offensichtlich

Kinetische Energie + Potenzielle Energie = Konstante

Das Maximum von KE ist also das niedrigste PE oder der Punkt C.

Bei Reibung, die zum Rollen führt, ist die gesamte kinetische Energie immer noch konstant, weil die Kugel rollt. Erst beim Rutschen wird die Energie abgebaut. Das einzige Mal, dass es rutscht, wäre anfänglich (vor Punkt B ). Danach und in der Nähe des Bodens befinden Sie sich im reinen Rollen und daher ist die Antwort immer noch Punkt C .

Mit Rollen auf einer kreisförmigen Schüssel ist das KE$K=\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m \left(\omega r \right)^2 = m g (H-y)$, und das PE ist$P=\frac{1}{2} m g y$da eine fallende rollende Kugel ein Geschwindigkeitsprofil von hat

was sich aus den Bewegungsgleichungen ergibt

Und$y = H + H \sin \left(\frac{r}{H} \theta \right)$mit$y$die Höhe des Balls und$\theta$seine Drehung. Zunächst wann$\theta=0$die stellung ist$y=H$mit$y=0$am Punkt C.

ohne konkrete Werte über die Höhe AB und BC und den Haftreibungskoeffizienten, den Neigungswinkel, sind alles Vermutungen und Annahmen.

Damit die Kugel bei C einen niedrigeren Gesamt-KE als bei B hat, erfordert dies, dass es nach B eine Verzögerung gibt - dh die Reibung MUSS gleich oder größer sein als die Gravitationskraft entlang dieser Neigung (deshalb ist der Neigungswinkel der Schlüssel). Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, beschleunigt der Ball entweder durch Gleiten oder Rollen weiter, da die Höhe BC ungleich Null ist - selbst eine winzige Beschleunigung erhöht den Gesamt-KE der Kugel endgültig über den Betrag an Punkt B.

Rotations-KE außer Acht lassen.

In einer Blitzkugel sind 40 % des gesamten KE rotierend (immer wahr) – unter Verwendung der folgenden Gleichungen:

Trägheitsmoment,$I_{sphere}$=$\frac{2}{3}mr^2$

Rotations-KE =$\frac{1}{2}I\omega^2$=$\frac{1}{2}\frac{2}{3}mr^2\frac{v^2}{r^2}$, wobei v die lineare Geschwindigkeit am Umfang ist

=$\frac{1}{3} mv^2$

Translations-KE =$\frac{1}{2}mv^2$

Wenn wir davon ausgehen, dass die Kugel von A nach B gleitet und erst nach B zu rollen beginnt, und wir die Frage so verstehen, dass sie nur Translations-KE meint (nicht vernünftig IMHO), macht dies nur einen 40% igen Verlust aus technischen Gründen aus. der KE-Gewinn von B nach C wird um 40 % reduziert, zuzüglich eines zusätzlichen zusammengesetzten Prozentsatzes aufgrund von parasitären Verlusten. wenn wir davon ausgehen, dass die prozentualen parasitären Verluste durch alle Punkte gleich sind, dann$\frac{BC}{AC}<0.4.$erfüllt die Bedingung, dass der zusätzliche Fall von B nach C nicht genug zum KE des Balls hinzufügt, um den Verlust durch Rotation zu berücksichtigen, dh der Ball bei C hat einen niedrigeren KE als bei B.

Für meine Antwort gehe ich von folgenden Annahmen aus: 1. Die Schüssel / Schlucht ist kugelförmig und sehr flach. 2. Die Reibungskraft ist unabhängig von der Rotation.

Alle Kräfte so gleichsetzen:

Wo$\theta$ist der Winkel zwischen der vertikalen Achse und der Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt der Kugelschale und der Kugel. a = Beschleunigung, v = Geschwindigkeit, c = geschwindigkeitsabhängiger Reibungskoeffizient. Wenn$l$der Radius der Kugelschale ist, reduziert sich die Gleichung auf:

Die obige diff-Gleichung ist unlösbar, machen Sie also eine Annäherung und nehmen Sie die Taylor-Reihe des Sinusterms. Da die Schüssel flach ist, reicht nur die erste Bestellung der Taylor-Serie. (Die Differentialgleichung ist für höhere Ordnungen noch unlösbar). Das DE wird somit zu:

Was nichts anderes ist als der gedämpfte harmonische Oszillator mit Federkonstante

Da der Ball den untersten Punkt überquert, verliert er wahrscheinlich Energie; kehrt zum untersten Punkt zurück; schwingt darum und kommt schließlich zur Ruhe. Und daher kann man davon ausgehen, dass es sich um einen unterdämpften Oszillator handelt. Jedes Diagramm für x für ein DHO zeigt Ihnen, dass die maximale Geschwindigkeit zwischen Zeit = 0 und dem Moment erreicht wird, in dem der Oszillator zum ersten Mal den Gleichgewichtspunkt (den Punkt, um den er schwingt) erreicht. Da in diesem Fall der Gleichgewichtspunkt der unterste Punkt ist, wird die maximale Geschwindigkeit (KE) vor diesem Punkt erreicht. Die Antwort (mit diesen Annahmen) ist also B.

Von A nach B findet eine maximale Änderung der potentiellen Energie statt, diese Energie wird in kinetische Energie (sowohl Rotation als auch Translation) umgewandelt, jedoch geht etwas Energie auch als Wärme aufgrund von Reibung verloren, aber die Steigung ist groß, es kann davon ausgegangen werden, dass die Normalkraft wird sehr klein sein und daher wäre die dissipierte Energie nicht sehr groß.

Nun, von B nach C gibt es nicht sehr viel Höhenänderung, also wird während dieser Reise definitiv nicht viel KE gewonnen, aber aufgrund seiner sehr kleinen Neigung hat es eine Normalkraft von hoher Größe, was zu einer hohen Energiedissipation führen würde .

$\Delta PE = mgh$
$W_{frictional} = mgcos(\theta)d$

Angenommen, die Reise von B nach C ist ziemlich geradlinig, seitdem$\theta$ist sehr klein$cos(\theta)$wäre daher nahe 1$cos(\theta)d$wäre größer als$h$denn eindeutig ist d viel mehr als h. Da durch Reibung mehr Energie als Wärme verschwendet wird, als durch Veränderung gewonnen wird$PE$wir behaupten, dass der ** Punkt B ** maximales KE hat.