Wohin muss man einen Ball treten, um während der gesamten Bewegung zu rollen?

Angenommen, Sie haben einen bewegungslosen Radiusball$R$ruht auf einer horizontalen Ebene mit endlichem Reibungskoeffizienten$\mu$. Du trittst den Ball in einer Höhe$h$über dem Boden entlang der horizontalen Richtung und beobachten Sie seine Bewegung. Sie wollen finden$h$wo es mit reinem Rollen beginnt, anstatt zu gleiten.

Dies ist das Problem der Achse des Schlagwerks , und es ist ziemlich einfach zu lösen.

Wichtig ist die Masse des Balls$m$, und das Massenträgheitsmoment um den Massenmittelpunkt$I$.

Der Impuls$J$aus der Kick-Möglichkeit und Reaktionsimpuls$G$vom Boden und die Reibung ist gering. Diese Reaktion ist aufgrund der Traktion in ihrer Größe begrenzt, bevor der Ball rutscht. Das Ziel hier ist also zu finden$h$so dass$G=0$.

Die Bewegungsgleichungen (horizontal und rotatorisch) lauten:

$$\begin{aligned} J - G & = m v \\ J (h-R) + G R & = I \omega \\ \end{aligned}$$

und der reine Rollzustand ist$v = \omega R$

Die Lösung für die beiden obigen Gleichungen ist

$$\begin{aligned} \omega &= \frac{h}{I+m R^2} J \\ G & = J - \frac{h\,R\,m}{I+m R^2} J \end{aligned}$$

Um das Ziel zu erreichen$G=0$, lösen Sie die 2. Gleichung für$h$

$$\boxed{ h = R + \frac{I}{m\,R} }$$

Die resultierende Bewegung ist somit

$$\begin{aligned} \omega &= \frac{J}{m\,R} & v & = \frac{J}{m} \end{aligned}$$

HINWEIS: Die Präkusionsachse ist definiert durch$h$befindet sich immer über dem Massenmittelpunkt, und das macht Sinn, da der Ball versuchen würde, sich zu verschieben (und zu rutschen), wenn er sich in der Nähe des Massenmittelpunkts befände.

Verweise:

• Die gleiche Mathematik für ein verwandtes Problem , obwohl umgekehrt.
• Eine noch detailliertere Analyse , wie man einen Bowlingkegel effizient schiebt (das entgegengesetzte Problem).