Berechnen der Bahn eines Balls mit Spin, der sich über einen Tisch bewegt

Ein einzelner Parameter wird nicht ausreichen, um den gewünschten Effekt zu erzielen. Stellen Sie sich eine sich drehende Scheibe vor, die eine erweiterte Kontaktfläche in Form eines Kreises hat. Die Bewegung eines beliebigen Punktes der Scheibe kann in eine Geschwindigkeit zerlegt werden$v_\parallel$in Richtung der Massenbewegung und einer orthogonalen Geschwindigkeit$v_\perp$. Wenn die Reibung unabhängig von der Geschwindigkeit wäre, dann$v_\parallel$Und$v_\perp$wird überall mit der gleichen Rate reduziert, was zu einer Nettoverlangsamung sowohl der Massenbewegung als auch des Spins führt, aber nicht zu einer Umleitung der Massenbewegung führt.

Der Grund dafür, dass die Bahnen von rotierenden Objekten umgelenkt werden, liegt darin, dass sie asymmetrische Reibungs-/Widerstandskräfte erfahren, wenn sich verschiedene Teile mit unterschiedlichen relativen Geschwindigkeiten in der festen Umgebung bewegen. Mit anderen Worten,$\dot{v}_\perp$mittelt sich nicht aus$0$über der Kontaktfläche.

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Um das Gerüst zu legen, nehmen Sie an, dass die Scheibe eine lineare Massengeschwindigkeit hat$v_\mathrm{lin}$, eine Winkelfrequenz$\omega$, und eine Fahrtrichtung$\theta$gemessen im üblichen Sinne in Bezug auf ein$xy$-Gitter auf der (vermutlich trägen) Oberfläche. Beschriften Sie Punkte auf der Scheibe mit einem Abstand$r$von der Mitte und einem Winkel$\phi$in Bezug auf dasselbe gemessen$xy$-Netz.

Mit diesen Definitionen ist das leicht zu erkennen (besonders wenn Sie eine Skizze machen).

$$\begin{align} v_\parallel & = v_\mathrm{lin} - r\omega \sin(\phi-\theta) \\ v_\perp & = r\omega \cos(\phi-\theta). \end{align}$$ Diese Komponenten haben Richtungen $$\begin{align} \hat{v}_\parallel & = \cos(\theta) \hat{x} + \sin(\theta) \hat{y} \\ \hat{v}_\perp & = -\sin(\theta) \hat{x} + \cos(\theta) \hat{y}, \end{align}$$ und so ist die Gesamtgeschwindigkeit $$\vec{v} = v_\parallel \hat{v}_\parallel + v_\perp \hat{v}_\perp.$$ Lassen $$v = \sqrt{v_\parallel^2 + v_\perp^2}$$ sei die Geschwindigkeit und definiere $\hat{v} = \vec{v} / \lvert \vec{v} \rvert = \vec{v}/v$.

Das Objekt ist ein starrer Körper, und daher können wir Kräfte über die gesamte Kontaktfläche integrieren, um die Nettoergebnisse zu finden. (Ohne Starrheit hätte jeder Punkt seine eigene Dynamik, die mit der seiner Nachbarn gekoppelt wäre, was zu einem viel komplizierteren Problem führen würde.) Let$f(v)$sei die Größe der Reibungskraft pro Flächeneinheit als Funktion der Relativgeschwindigkeit. Die Richtung wird einfach sein$-\hat{v}$, da Reibung nur an einem Punkt genau entgegen der Bewegungsrichtung wirken kann. Dann die Gesamtkraft auf die Scheibe$D$Ist

$$\vec{F} = - \int\limits_D f(v) \hat{v} \ \mathrm{d}A.$$ Gleichzeitig wird dort ein Drehmoment pro Flächeneinheit durch gegeben $-f(v) \vec{r} \times \hat{v}$, Wo $\vec{r}$ist der Vektor mit Betrag $r$zeigt in die Richtung $\phi$. Das Nettodrehmoment auf der Scheibe wird sein $$\vec{\tau} = -\int\limits_D f(v) \vec{r} \times \hat{v} \ \mathrm{d}A.$$

Schließlich können wir die Kräfte mit der Änderung der interessierenden Variablen verbinden. Die lineare Geschwindigkeit

$$\vec{v}_\mathrm{lin} = v_\mathrm{lin} \left(\cos(\theta) \hat{x} + \sin(\theta) \hat{y}\right)$$ wird sich entsprechend weiterentwickeln $$\dot{\vec{v}}_\mathrm{lin} = \frac{1}{m} \vec{F},$$ Wo $m$ist die Masse der Scheibe. Die Festplatte wird auch entsprechend heruntergefahren $$\dot{\omega} = \frac{1}{I} \tau,$$ Wo $I$ist das Trägheitsmoment und $\tau = \lvert \vec{\tau} \rvert$.

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Wie Sie sehen können, kann dies im Allgemeinen kompliziert sein. Sogar einige eher einfache Formen für$f(v)$zu unlösbaren Gleichungen führen, wenn Sie analytische Lösungen wünschen. Meine Empfehlung ist, das System unter Anleitung der gegebenen Gleichungen einfach numerisch weiterzuentwickeln.

Die Tatsache, dass die ursprüngliche Frage für einen Ball und nicht für eine Scheibe war, ändert wenig. Der Ball muss eine nicht verschwindende Kontaktfläche haben, wenn er sich überhaupt krümmen soll. Der einzige Trick besteht darin, daran zu denken, die richtigen Formeln für zu verwenden$m$Und$I$, und möglicherweise einzuführen$r$- Abhängigkeit in$f$um ein ungleiches Gewicht pro Flächeneinheit über die Kontaktfläche zu berücksichtigen.