Drehimpulserhaltung beim Aufprall eines Teilchens auf einen Stab

Ich bin ein bisschen verwirrt von der Typografie, aber ich nehme einfach an, dass das Partikel auf dem Tisch stoppt, was auf eine kleine Elastizität hindeutet. Der vom Teilchen getragene Impuls ist mv; Das Trägheitsmoment des Stabes um seinen Mittelpunkt (wo sein Massenmittelpunkt ist, um den er sich drehen wird) ist Ml^2/12. Der lineare Impuls am Stabende ist mv, der Winkelimpuls also 2mv/l. Daher ist die Winkelgeschwindigkeit Drehimpuls/Trägheitsmoment, also 24mv/Ml^3.

Der$\omega$erhalten durch Erhaltung des Drehimpulses (COAM) um eine Achse ist die$\omega$um die jeweilige Achse. Der$\omega$erhalten von COAM über COM ist$\omega$über COM und die anderen$\omega$geht es um das Ende.

Beim Auftreffen der Kugel auf den Stab bleiben sowohl Linear- als auch Drehimpuls erhalten. Dies impliziert, dass COM der Stange nicht ruht, sondern sich mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts bewegt und die Stange mit konstantem a um COM rotiert$\omega$.

Überprüfung

Der wichtigste Punkt, den es hier zu lernen gilt, ist, sich darüber im Klaren zu sein, wann eine physikalische Eigenschaft eine Eigenschaft einer Sache ist und wann sie eine Eigenschaft zweier Dinge ist.

Beispielsweise ist die Masse eines Balls eine Eigenschaft dieses Balls. Es hängt von nichts anderem ab. Der Impuls eines Balls hingegen ist eine Aussage darüber, wie sich der Ball relativ zu einem vereinbarten Bezugsrahmen bewegt. Es ist nicht ganz richtig zu sagen, dass es nur eine Eigenschaft des Balls ist; es ist vielmehr eine Eigenschaft des Balls, wenn man ihn vom Standpunkt eines vereinbarten Trägheitsbezugssystems aus betrachtet. (Wenn man fortgeschrittenere Methoden lernt, kann man eine weitere Aussage machen, und dann kann der 4-Impuls als eine absolutere Sache angesehen werden, aber darauf möchte ich hier nicht eingehen).

Rotationseigenschaften erfordern eine weitere Information. Sie erfordern auch, dass eine Achse angegeben wird. Folgende Eigenschaften:

1. Drehimpuls
2. Drehmoment (auch Moment genannt)
3. Trägheitsmoment

sind nicht nur Eigenschaften eines Körpers; sie sind Eigenschaften eines Körpers und einer Rotationsachse (alle innerhalb eines vereinbarten Trägheitsbezugsrahmens)

Man sollte also nicht sagen „der Körper hat Drehimpuls$J$“, sollte man sagen „der Körper hat einen Drehimpuls$J$um Achse$A$" oder so ähnlich. Dasselbe gilt für Drehmoment und Trägheitsmoment. Sobald Sie sich daran gewöhnt haben, beantworten sich Fragen wie die hier gestellte von selbst (siehe andere Antworten für weitere Details in diesem speziellen Fall).

Der Winkelimpuls um das Ende der Stange führt zu irreführenden Ergebnissen. Zum einen ist der Drehimpuls des einfallenden Teilchens an jedem Punkt seiner Bahn Null. Wenn Sie also nach dem Aufprall diesen Wert verwenden, bedeutet dies, dass der resultierende Drehimpuls ebenfalls Null sein wird, was nicht mit der Realität übereinstimmt.

Was passiert, ist, dass eine bestimmte Menge an linearem Impuls am Kontaktpunkt und entlang der Kontaktnormalenrichtung ausgetauscht wird. Diese Menge$J$wird als Impuls bezeichnet und wird in Einheiten von angegeben$\text{[Newton second]}$. Dieser Austausch ist gerade erforderlich, um die Kontaktierungskörper so zu verschieben und zu drehen, dass die Kontaktbedingungen erfüllt sind. In diesem Fall hat das Teilchen nach dem Aufprall eine Geschwindigkeit von Null.

Also, wenn das Teilchen Anfangsgeschwindigkeit hat$v$, es trägt Schwung$p=m v$die vollständig auf die Stange übertragen werden.

Betrachten Sie nun die Stange, die als Anstoß dient$J=m v$an einem Ende darauf aufgebracht. Dadurch ändert sich der Impuls des Stabes durch$J$und der Drehimpuls des Stabes um den Massenmittelpunkt durch$(\ell/2) J$. Die Änderung der Drehgeschwindigkeit der Stange ist also linear aufgrund des Aufpralls

Um es kurz zu machen, Sie müssen die Bewegungsgleichungen (Ergebnis des Impulses) im Massenzentrum angeben . Wenn Sie also den Drehimpuls erhalten, muss er auch im Massenzentrum angegeben werden.