Verwenden der Erhaltung der kinetischen Energie, um den Drehimpuls nach einer Kollision zu finden

Ich lerne im Selbststudium, so traurig, dass ich keinen Professor oder Klassenkameraden habe, um das zu fragen. Ich lerne hauptsächlich durch die Khan Academy, wo ich auf diese Frage gestoßen bin:

Ein Ball aus Masse M rollt auf einem Tisch mit einer Geschwindigkeit v wie in der Vogelperspektive unten zu sehen. Es trifft auf die Außenkante eines gleich langen Stabes L die die gleiche Masse wie die Kugel hat M . Die Stange befand sich anfänglich in Ruhe, kann sich aber frei um das linke Ende der Stange drehen. Nach dem Auftreffen auf die Stange stoppt die Kugel und die Stange dreht sich um ihr linkes Ende. Wie groß ist bei gegebenen Größen die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes unmittelbar nach dem Auftreffen der Kugel? Das Trägheitsmoment eines Stabes um sein Ende ist 1 3 M L 2 .

Ich verstehe, wie man dies mit der Erhaltung des Drehimpulses löst:

M L v = ICH ω

L v = 1 3 M L 2 ω

ω = 3 v L

Das ist auch die Antwort, die die Website liefert. Jetzt gehe ich davon aus, dass die Kollision elastisch ist - oder ist das vielleicht mein Fehler? Außerdem sprechen wir von einem Ball, also einer Kugel (richtig?), die eine Rotationsträgheit hat ICH B = 2 5 M R 2 . Unter der Annahme, dass der Stoß elastisch ist und somit die Erhaltung der kinetischen Energie gilt

K E ich = 1 2 M v 2 + 1 2 ICH B ( v R B ) 2 = 1 2 M ( v 2 + 2 5 v 2 )

K E F = 1 2 ICH R ω R 2 = 1 2 ( 1 3 M L 2 ) ω R 2

K E ich = K E F , So 7 5 v 2 = 1 3 L 2 ω R 2

ω R 2 = 21 5 v 2 L 2 , geben ω R = 21 v 5 L

Liegt das Problem bei meinen Annahmen oder bei meinen Berechnungen? Ist die Schlussfolgerung einfach, dass der Stoß unelastisch ist?

Antworten (2)

Dies ist eine gute Frage, die einige wichtige Ideen zu Kollisionen und Drehimpuls hervorhebt.
Da Sie nicht wissen, ob der Stoß elastisch ist, aber Sie wissen, dass es keine äußeren Drehmomente um eine Achse senkrecht zum Tisch und durch den Drehpunkt gibt C der Stange müssen Sie die Drehimpulserhaltung verwenden, um die Endgeschwindigkeit zu finden.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Also der Bahndrehimpuls L → Ö = M l v der Kugel wird auf die Stange übertragen.
Beachten Sie, dass der Drehimpuls eine Richtung hat, die mithilfe der Regel für den rechten Handgriff gefunden wird, wie im obigen Diagramm gezeigt.

Sie haben ganz richtig darauf hingewiesen, dass der Ball, weil er rollt und nicht rutscht, auch kinetische Rotationsenergie hat, aber ganz wichtig, er hat auch einen Drehimpuls L → S .

Der Spindrehimpuls der Kugel L → S hat auch eine Richtung wie im Diagramm gezeigt, aber sie ist nicht in der gleichen Richtung wie der Bahndrehimpuls L → Ö .
Also Drehimpulserhaltung um die durch definierte Achse zu verwenden L → S Sie müssen Drehmomente um diese Achse berücksichtigen.
Um diese Achse gibt es ein Drehmoment, das auf die am Drehpunkt ausgeübte Kraft zurückzuführen ist C Dadurch wird verhindert, dass sich der Stab um seine Längsachse dreht, sodass weder der Drehimpuls erhalten bleibt noch die damit verbundene kinetische Rotationsenergie.
Selbst wenn sich der Stab entlang seiner Längsachse drehen könnte und der Spin-Drehimpuls der Kugel vollständig auf den Drehimpuls des Stabs übertragen würde, der sich entlang der Achse entlang seiner Länge dreht, können Sie sicher sein, dass die kinetische Energie nicht erhalten wurde.
Dies liegt daran, dass sich im Moment des Aufpralls die Kugel dreht und die Stange nicht.
Wenn keine Reibungskraft vorhanden ist, passiert nichts mehr, die Kugel dreht sich weiter und die Stange dreht sich nicht.
Damit der Drehimpuls übertragen werden kann, muss also Reibung vorhanden sein.
Sobald Reibung und Relativbewegung zwischen der sich drehenden Kugel und dem Stab auftreten und daran erinnert wird, dass der Stab seine Endgeschwindigkeit nicht sofort erreichen kann, muss die Reibungskraft Arbeit verrichten, und diese Arbeit manifestiert sich als Wärme.
Es muss also etwas kinetische Energie in Wärme umgewandelt werden – der Stoß ist unelastisch.

Es ist also falsch, alle Arten von kinetischer Energie zusammenzufassen und dann anzunehmen, dass die kinetische Energie erhalten bleibt und die gesamte kinetische Energie zur kinetischen Rotationsenergie der Stange um eine vertikale Achse durch den Drehpunkt wird.

Ich kann kein mögliches Trägheitsmoment für die Kugel finden, für das beim Stoß Energie eingespart werden kann; die erforderliche kinetische Rotationsenergie der Kugel sein müsste M v 2 , anzeigt ICH B = 2 M R 2 , was das Doppelte des maximal zulässigen für etwas von diesem Radius ist.

Die einzige Schlussfolgerung ist, dass das Stoßereignis unelastisch sein muss.

Verwenden der Erhaltung der kinetischen Energie, um den Drehimpuls nach einer Kollision zu finden
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