Maximal zulässige Geschwindigkeit beim Herunterfahren einer Rampe

Question

Maximal zulässige Geschwindigkeit beim Herunterfahren einer Rampe

böser999mann

Ich habe also Bergrennen gespielt und festgestellt, dass wir einfach abspringen, wenn wir uns mit hoher Geschwindigkeit auf eine Rampe zubewegen, die nach unten führt. Während niedrigere Geschwindigkeiten uns helfen, mit der Rampe in Kontakt zu bleiben.

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Los geht's: Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Also beschloss ich aus Spaß, die maximal zulässige Geschwindigkeit zu berechnen, die es uns ermöglicht, mit der Rampe in Kontakt zu bleiben. Hier ist meine Arbeit:

Betrachten wir den Fall eines Massenzylinders $M$ und Radius $R$ . Achten Sie auf ausreichende Reibung, um ein Abrutschen zu vermeiden. Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Lasst uns beginnen....

$u = w_0 R$

$v = w R$

$I = \frac 1 2 MR^2$

Da es kein Rutschen gibt, funktioniert Reibung nicht. Anfangsenergie: Angenommen, das Anfangsniveau sei U = 0 für die potenzielle Gravitationsenergie: $\frac 1 2 M u^2 + \frac 1 2 I w_0^2 +MgR =\frac 3 4 M u^2 + MgR$

Endenergie:

$\frac 1 2 M v^2 + \frac 1 2 I w^2 + MgRcos\theta =\frac 3 4 M v^2 + MgRcos\theta$

Da Energie eingespart wird,

$v^2 = \frac 4 3 (gR(1-cos\theta) + u^2)$

Jetzt müssen wir N in Bezug auf v finden und es ausdrücken $\geqslant 0$ Aber ich kann nicht sehen, wie ich N finde? Bitte helfen Sie.

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Maximal zulässige Geschwindigkeit beim Herunterfahren einer Rampe

John Rennie · Answer 1

Angenommen, die Rampe wäre nicht da, dann wäre die Flugbahn des Objekts dieselbe, als ob es von einer Klippe gefallen wäre:

Cliff

Um die Bewegungsgleichung zu erhalten, notieren Sie einfach, dass die horizontalen und vertikalen Koordinaten gegeben sind durch (Vernachlässigung des Luftwiderstands):

X = u T

$x = ut$

j = \frac{1}{2} G T^{2}

$y = \tfrac{1}{2} g t^2$

Sie können also die Flugbahn erhalten, indem Sie for ersetzen $t$ zu bekommen:

j = \frac{G}{2 u^{2}} X^{2}

$y = \frac{g}{2u^2} x^2$

Dies nimmt den Rand der Klippe als Ursprung $(0, 0)$ und der Bequemlichkeit halber nehmen wir $y$ nach unten positiv sein. Wenn wir die Rampe zurückstellen und auf den Startpunkt zoomen, sehen Sie:

Rampe

Da die Neigung der Trajektorie am Startpunkt null ist und die Neigung der Rampe nicht null ist (dh sie hat eine scharfe Kante), wird es nach der Kante immer einen Zeitraum geben, in dem das Auto den Boden verlässt. Wenn Sie die Geschwindigkeit verringern oder die Rampe flacher machen, wird die Länge des Sprungs verkürzt, aber sie wird immer vorhanden sein. Die einzige Möglichkeit, einen Sprung zu vermeiden, besteht darin, dass die Steigung der Rampe überall kleiner oder gleich der Steigung der Trajektorie ist.

Wenn wir die Rampe wie vorgeschlagen in der gleichen Form wie die Flugbahn machen, wird es dann nicht eine Geschwindigkeit geben, bei der der Zylinder abfliegt?
@Awesome: Die Flugbahn hängt von der Geschwindigkeit ab. Wenn Sie die Geschwindigkeit erhöhen, wird die Flugbahn flacher. Wenn Sie die Rampe mit einer gewissen Geschwindigkeit in die gleiche Form wie die Flugbahn bringen $u_0$ dann für alle Drehzahlen $u \le u_0$ das Auto springt nicht und für alle Geschwindigkeiten $u > u_0$ es wird springen.
Ich habe kürzlich darüber nachgedacht: Nehmen Sie den Schwerpunkt des Zylinders, um eine kreisförmige Bewegung um "diesen" Punkt auszuführen, und schreiben Sie $Mgcos\theta-N=\frac{Mv^2}{R}$ wenn ich setze $v$ Ich habe früher erhalten, es wird mir eine Bedingung dafür geben $N\geqslant 0$ Was ist daran falsch?
@Awesome Der positive -> negative Fix wurde vorgenommen; Entschuldigung, John, falls wir Ihren Beitrag versehentlich unterbrochen haben.
Ich habe mich nur gefragt, warum sich der Zylinder nicht um diesen Punkt dreht und einfach an der Rampe bleibt ... $Mg\cos\theta$ kann dem Zylinder Zentripetalkraft verleihen?
@JohnRennie Warum führt der Zylinder keine kreisförmige Bewegung um den Punkt aus, an dem eine Zentripetalkraft vorhanden ist?

böser999mann · Answer 2

Betrachten Sie den Schwerpunkt des Zylinders, um eine kreisförmige Bewegung um diesen Punkt auszuführen:

$\frac{Mv^2} R = Mgcos\theta - N$

$\frac 2 3 M((gR(1-cos\theta) + u^2) = Mgcos\theta -N$

$N=\frac 2 3 M((gR(1-cos\theta) + u^2) - Mgcos\theta$

Zustand : $\frac 2 3 M((gR(1-cos\theta) + u^2) - Mgcos\theta \geqslant 0$

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