Elastischer Stoß in zwei Dimensionen

Angenommen ein Teilchen mit Masse$m_1$und Geschwindigkeit$v_{1i}$erfährt einen elastischen Stoß mit einem stationären Masseteilchen$m_2$. Nach der Kollision Masseteilchen$m_1$bewegt sich mit Geschwindigkeit$v_{1f}$in einer Winkelrichtung$\theta$oberhalb der Linie bewegte es sich zuvor. Teilchen mit Masse$m_2$bewegt sich mit Geschwindigkeit$v_{2f}$in einer Winkelrichtung$\phi$unter der Linie welches Teilchen mit Masse$m_1$war vorher umgezogen. Wie können wir diese beiden Gleichungen unter Verwendung von Gleichungen zur Erhaltung von Impuls und kinetischer Energie beweisen?

$\frac{v_{1f}}{v_{1i}}=\frac{m_1}{m_1+m_2}[\cos \theta \pm \sqrt{\cos^2 \theta - \frac{m_1^2-m_2^2}{m_1^2}}]$

Und

$\frac{\tan(\theta +\phi)}{\tan(\phi)}=\frac{m_1+m_2}{m_1-m_2}$?

BEARBEITEN. Folgendes habe ich getan:

Stellen Sie für den ersten die$xy$Koordinatensystem, so dass die positive Richtung der$x$Achse zeigt auf die ursprüngliche Bahn des Teilchens mit Masse$m_1$. Wir haben also drei Gleichungen:

$m_1v_{1i}=m_1v_{1f}\cos \theta + m_2v_{2f} \cos \phi$

$0=m_1v_{1f}\sin \theta - m_2v_{2f}\sin \phi$

$m_1v_{1i}^2=m_1v_{1f}^2+m_2v_{2f}^2$.

Aus dem zweiten erhalten wir:

$v_{2f}=\frac{m_1v_{1f}\sin \theta}{m_2 \sin \phi}$

Wenn wir dies in die dritte Gleichung eintragen, erhalten wir

$v_{1i}^2=v_{1f}^2(1+\frac{m_1 \sin^2 \theta}{m_2 \sin^2 \phi})$(1)

Aus der ersten Gleichung haben wir

$\cos \phi =\frac{m_1(v_{1i}-v_{1f}\cos \theta)}{m_2v_{2f}}$

die nach Anwendung der Gleichung haben wir für$v_2f$wird

$\sin^2 \phi = \frac{1}{1+\frac{(v_{1i}-v_{1f}\cos \theta)^2}{\sin^2 \theta \times v_1f^2}}$

Wenn wir dies in Gleichung (1) eintragen, erhalten wir eine Gleichung in Bezug auf$m_1$,$m_2$,$v_{1f}$,$v_{1i}$Und$\theta$, aber es ist zu weit von dem entfernt, was ich erwartet hatte.

Für die zweite Zuweisung der$xy$so koordinieren, dass die positive Richtung der$x$Die Achse zeigt auf die endgültige Bahn des Teilchens$m_2$, gibt uns drei Gleichungen (zwei für die Erhaltung des linearen Impulses und eine für die Erhaltung der kinetischen Energie), aber ich weiß nicht, was ich als nächstes tun soll.