Eine Kugel, die in eine Tür geschossen wurde, im Vergleich zu einer Kugel, die in einen aufgehängten Block geschossen wurde

Im Fall des ballistischen Pendels wird angenommen, dass die gesamte Masse des Blocks am Aufprallpunkt des Geschosses konzentriert ist. Im Fall der Tür wird die Masse über die gesamte Tür verteilt, und da die Tür als starr (und an den Scharnieren eingeschränkt) angenommen wird, müssen verschiedene Teile der Tür unterschiedliche Tangentialgeschwindigkeiten aufweisen.

Der Unterschied besteht darin, dass die Tür eine Kraft von den Scharnieren in horizontaler Richtung übertragen kann, während eine vertikale Schnur keine horizontale Kraft ausüben kann.
Die einzige Kraft, die der Saite zur Verfügung steht, ist ihre Spannung, die entlang der Saite wirkt. Die Saite kann nur eine horizontale Kraftkomponente ausüben, wenn sie nicht vertikal ist.

Angenommen, die Türscharniere wären so beschaffen, dass sie während der Kollision die Bewegung der Tür in horizontaler Richtung nicht einschränkten, dies aber unmittelbar danach tat, das heißt, die Scharniere waren etwas locker.
Während der Kollision könnten Sie also die lineare Impulserhaltung verwenden, aber unmittelbar danach würde aufgrund von Scharnieren ein Impuls auf die Tür wirken, was bedeuten würde, dass sich der lineare Impuls der Tür wieder ändern würde.

Die Verwendung der Drehimpulserhaltung um die Gelenke herum bedeutet, dass die von den Gelenken aufgebrachten Drehmomente null sind.

Angenommen, das Türscharnier hat etwas Spiel, so dass sich in der ersten kleinen Zeitspanne, nachdem die Kugel die Tür getroffen hat, die gesamte Tür in die gleiche Richtung bewegen kann, in der sich die Kugel bewegt hat, ohne sich zu drehen.

Jetzt beginnt sich die Tür jedoch zu drehen , anstatt sich linear zu bewegen. Warum kann das sein? Dies ist nur möglich, weil sich das Scharnier an seiner Seite der Tür zurückzieht, damit die Türkante dort bleibt, wo sie ist.

Diese Kraft auf die Tür frisst einen Teil des linearen Impulses auf, den sie von der Kugel erhalten hat, sodass die Analyse der Situation in Bezug auf den linearen Impuls komplex sein wird.

Da das System Tür + Kugel nur über das Scharnier mit seiner Umgebung interagiert (und wir gehen davon aus, dass das Scharnier gut geölt ist und kein Drehmoment überträgt), bleibt sein Drehimpuls um das Scharnier glücklicherweise erhalten. Damit können wir die Situation relativ einfach anhand des Drehimpulses analysieren.

Im Fall des Pendels (wo wir den Pendelkörper als Punkt behandeln) sollte entweder der lineare Impuls (in Richtung der Kugelbewegung) oder der Drehimpuls funktionieren , und beide sollten das gleiche Ergebnis liefern. In diesem Fall ist es etwas einfacher , den linearen Impuls zu verwenden, daher wird diese Berechnung normalerweise vorgestellt.

Die Erhaltung der mechanischen Energie ist in keiner der Situationen gültig, da etwas Energie als Wärme und Spannung verloren geht, wenn sich die Kugel in das Ziel einbettet und es verformt.

Die 2 Systeme sind gleichwertig. Im einen Fall haben Sie ein einfaches Pendel , im anderen ein zusammengesetztes Pendel . Dass die Pendelschnur flexibel ist, geht nicht in die Berechnung ein. Er könnte durch einen leichten starren Stab ersetzt werden, ohne das Ergebnis zu beeinträchtigen. Der einzige Unterschied ist dann die Verteilung der Masse um den Drehpunkt, was meiner Meinung nach der einzige Grund ist, warum die Erhaltung des linearen Impulses für das einfache Pendel funktioniert, aber nicht für die Tür.

In beiden Fällen sollten Sie die Drehimpulserhaltung um den Drehpunkt verwenden, nicht die Impulserhaltung. Unter der Annahme, dass die Kraft auf die Schnur oder Tür vom Drehpunkt zum Drehpunkt wirkt (eine zentrale Kraft ), dann gibt es keine Änderung des Drehimpulses des Systems während der sofortigen Kollision.

In beiden Fällen ist der Anfangsdrehimpuls$mvL$wo$L$ist der Abstand des Geschosses vom Drehpunkt. Der endgültige Drehimpuls ist$J\omega_0$wo$J$ist das Trägheitsmoment um den Drehpunkt und$\omega_0$ist die Winkelgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Einbetten des Geschosses, von dem angenommen wird, dass es sofort geschieht.

Für das einfache Pendel, bei dem die Masse$M$des Pendels konzentriert sich auf die Ferne$L$von der Achse hast du
$mvL=J\omega_0=(ML^2+mL^2)\omega_0$
$mv=(M+m)V$...(*)
wo$m,M$sind die Massen der Kugel und des Blocks und$v,V$sind die linearen Geschwindigkeiten des Geschosses unmittelbar vor und des Geschoss-und-Blocks unmittelbar nach dem Aufprall. Das habe ich auch ausgenutzt$V=\omega_0 L$. In diesem Fall ist die Drehimpulserhaltung gleichbedeutend mit der Impulserhaltung.

Für das zusammengesetzte Pendel, bei dem die Masse wie ein Stab bis zu einer Länge verteilt ist$2L$von der Achse hast du
$mvL=J\omega_0=(\frac13M(2L)^2+mL^2)\omega_0=(\frac43ML^2+mL^2)\omega_0$
$mv=(\frac43M+m)V$
was nicht dasselbe ist wie das Ergebnis unter Verwendung der Erhaltung des linearen Impulses in Gleichung (*) oben.

[Die Erhaltung des linearen Impulses kann jedoch angewendet werden, wenn die Kugel die Tür im Zentrum der Perkussion trifft . (Danke an Andrew Morton für den Hinweis in seinem Kommentar unten.) Die Tür schwingt an ihrem Scharnier mit der gleichen Periode wie ein einfaches Pendel mit der gleichen Masse, das auf den CoP konzentriert ist. Das Trägheitsmoment der Tür kann geschrieben werden als$J=Mk^2$wo$k$ist der Abstand zwischen dem Scharnier und dem CoP. Wenn also die Kugel die Tür am CoP trifft, ergibt die Erhaltung des Drehimpulses dasselbe Ergebnis wie die Erhaltung des linearen Impulses:
$mvk=(Mk^2+mk^2)\omega_0$
$mv=(M+m)V$
wo jetzt$V=\omega_0 k$ist die Geschwindigkeit des CoP unmittelbar nach der Kollision.]

Sowohl das einfache als auch das zusammengesetzte Pendel drehen sich um einen festen Drehpunkt. Diese Bewegung kann in eine momentane lineare Bewegung des CM und eine Drehung um das CM zerlegt werden. Beim einfachen Pendel befindet sich der Drehpunkt weit außerhalb des Bobs, sodass die Drehung des Bobs um sein CM im Vergleich zur Bewegung des CM vernachlässigbar ist. In guter Näherung führt der Aufprall nur zu einer linearen Bewegung des CM, sodass er gut als lineare 1D-Kollision modelliert wird. Für das zusammengesetzte Pendel ist der Drehpunkt im Vergleich zur Größe der Tür nicht weit vom CM entfernt, sodass die Drehbewegung um das CM im Vergleich zur Bewegung des CM signifikant ist. Der Aufprall führt sowohl zu einer Dreh- als auch zu einer Linearbewegung, sodass er nicht als lineare 1D-Kollision angenähert werden kann.