Hausaufgabe: Radius und Masse des Planeten aus Geschwindigkeit und Zeit berechnen

Question

Hausaufgabe: Radius und Masse des Planeten aus Geschwindigkeit und Zeit berechnen

der Ideenschmied

Stellen Sie sich einen Planeten und eine Sonne vor, die sich um ihren Massenmittelpunkt drehen . Die Sonne hat eine Masse von 0,9 der Masse unserer Sonne.

Ich muss die Masse des Planeten in Bezug auf die Masse des Jupiters und den Umlaufradius des Planeten in Bezug auf den Erdradius berechnen – ich verstehe nicht, was dieser Radius bedeutet. Sind Bahnen nicht elliptisch oder sind Bahnen um einen Massenmittelpunkt tatsächlich kreisförmig?

Ich weiß, dass die Umlaufzeit der Sonne im Problem 1500 Tage beträgt und ihre maximale Sichtliniengeschwindigkeit $70m/s$ und Minimum ist $-70m/s$

Ich habe eine Reihe von Ansätzen ausprobiert, kann aber nichts zum Laufen bringen.

Erstens sind die Masse und die Geschwindigkeit des Planeten $m_p, v_p$ und des Sterns $m_s, v_s$ . Dann bleibt der Drehimpuls erhalten

L_{S_{ich}} + L_{S ich} = L_{P F} + L_{S F}

$L_{s_i}+L_{si} = L_{pf} + L_{sf}$ Es gilt auch, dass die Gesamtmasse des Systems

M = m_{p} + m_{s}

$M = m_p + m_s$ . Zusätzlich können wir die Umlaufzeit mit der Gleichung beschreiben

$T^2GM = 4\pi^2r^3$ Wo $r$ ist der Umlaufradius.

Für die erste Gleichung wissen wir nicht wirklich, wie hoch die Endgeschwindigkeit des Sterns ist, es sei denn, wir führen kinetische und potentielle Energie ein.

Dann schreiben Sie die (sehr lange) Gleichung für Energie auf

$\frac{1}{2}m_pv_{pi}^2 + \frac{1}{2}m_sv_{si}^2 + U_{pi} + U_{si} = \frac{1}{2}m_pv_{pf}^2 + \frac{1}{2}m_sv_{sf}^2 + U_{pf} + U_{sf}$

Wir wollen nach der Masse und dem Rotationsradius des Planeten auflösen. Wir haben vier Unbekannte $v_{pi,f}$ , $r_p, r_s$ und habe drei Gleichungen. Was kann ich tun? Bearbeiten

Die vierte Gleichung kann geschrieben werden als $a_{red} = \frac{v^2}{r}$ wobei r der reduzierte Radius und die Beschleunigung die der reduzierten Masse ist.

Floris

Willst du ein paar Punkte überprüfen. Erstens nehmen Sie eine kreisförmige Umlaufbahn an (andernfalls macht der "Radius" der Umlaufbahn keinen Sinn). Auch wenn Sie sagen "Die Sonne hat eine Masse von 0,9 der Sonnenmasse", meinen Sie "die Sonne in diesem Problem ... die Sonne im Sonnensystem der Erde", richtig? Abschließend dazu: "Ich weiß, dass die Umlaufzeit der Sonne 1500 Tage beträgt" - meinst du "Umlauf dieses Planeten und dieser Sonne"?

Floris

Wenn Sie die Tatsache ignorieren können, dass Sie um das Baryzentrum kreisen, können Sie die Masse ignorieren. Wenn Ihr Planet jedoch eine große Masse hat, wirkt sich dies auf die Position des scheinbaren Rotationszentrums aus (gegenüber der Entfernung zur Sonne). Könnte das sein, was Ihnen die fehlende Gleichung gibt?

Floris

Schließlich - wie nennt man die "Sichtliniengeschwindigkeit"? Ist das

ω r^{'}

$\omega r'$ Wo

r^{'}

$r'$ ist der reduzierte Radius (zum Schwerpunkt)?

der Ideenschmied

Ja, die Sichtliniengeschwindigkeit ist der reduzierte Radius

r^{'}

$r'$ . In Bezug auf Ihren zweiten Kommentar würden wir dann die Gleichung schreiben

x_{c o m} = \frac{d_{p} m_{p} + d_{s} m_{s}}{M}

$x_{com} =\frac{d_pm_p+d_sm_s}{M}$ Wo

d_{p}

$d_p$ Und

d_{s}

$d_s$ sind die Entfernungen zum Mittelpunkt des Planeten und der Sonne?

Floris

Sehen Sie, ob dieser Artikel über reduzierte Masse hilft ...

der Ideenschmied

@Floris würde es Ihnen etwas ausmachen, meine Frage vollständig zu beantworten. Ich kann es anscheinend nicht alleine herausfinden

Floris

Vielleicht heute Abend...

Antworten (1)

Hausaufgabe: Radius und Masse des Planeten aus Geschwindigkeit und Zeit berechnen

Willst du ein paar Punkte überprüfen. Erstens nehmen Sie eine kreisförmige Umlaufbahn an (andernfalls macht der "Radius" der Umlaufbahn keinen Sinn). Auch wenn Sie sagen "Die Sonne hat eine Masse von 0,9 der Sonnenmasse", meinen Sie "die Sonne in diesem Problem ... die Sonne im Sonnensystem der Erde", richtig? Abschließend dazu: "Ich weiß, dass die Umlaufzeit der Sonne 1500 Tage beträgt" - meinst du "Umlauf dieses Planeten und dieser Sonne"?
Wenn Sie die Tatsache ignorieren können, dass Sie um das Baryzentrum kreisen, können Sie die Masse ignorieren. Wenn Ihr Planet jedoch eine große Masse hat, wirkt sich dies auf die Position des scheinbaren Rotationszentrums aus (gegenüber der Entfernung zur Sonne). Könnte das sein, was Ihnen die fehlende Gleichung gibt?
Schließlich - wie nennt man die "Sichtliniengeschwindigkeit"? Ist das $\omega r'$ Wo $r'$ ist der reduzierte Radius (zum Schwerpunkt)?
Ja, die Sichtliniengeschwindigkeit ist der reduzierte Radius $r'$ . In Bezug auf Ihren zweiten Kommentar würden wir dann die Gleichung schreiben $x_{com} =\frac{d_pm_p+d_sm_s}{M}$ Wo $d_p$ Und $d_s$ sind die Entfernungen zum Mittelpunkt des Planeten und der Sonne?
Sehen Sie, ob dieser Artikel über reduzierte Masse hilft ...
@Floris würde es Ihnen etwas ausmachen, meine Frage vollständig zu beantworten. Ich kann es anscheinend nicht alleine herausfinden

Floris · Answer 1

Ich verstehe nicht, was dieser Radius bedeutet. Sind Umlaufbahnen nicht elliptisch oder sind Umlaufbahnen um einen Massenmittelpunkt tatsächlich kreisförmig?

Ich denke, dass Sie von einer kreisförmigen Umlaufbahn ausgehen müssen - ansonsten hat "Radius" keine Bedeutung, wie Sie richtig betonen.

Was den Hauptteil Ihrer Frage betrifft - ich denke, Sie machen es sich schwieriger als nötig.

Sie werden gebeten, den Radius in Bezug auf den Erdradius zu berechnen. Das wissen wir nun aus den Keplerschen Gesetzen

T^{2} G M = 4 π^{2} R^{3}

$T^2 GM = 4 \pi^2 r^3$

Gemäß diesem Artikel über Gravitations-Zwei-Körper-Probleme ersetzen wir einfach für den Fall, dass die Masse des Planeten im Vergleich zur Masse der "Sonne" nicht vernachlässigbar ist $M$ mit $M+m$ ; Jetzt können wir die erste Gleichung für die Masse und den Umlaufradius des Planeten aufschreiben:

\begin{matrix} (1) & \frac{T_{e}^{2} G M_{S}}{R_{e}^{3}} = \frac{T_{p}^{2} G (0.9 M_{s} + m_{p})}{r_{p}^{3}} \end{matrix}

$\frac{T_e^2 G M_s}{r_e^3} = \frac{T_p^2~ G ~(0.9~ M_s + m_p)}{r_p^3}\tag1$

There are only two unknowns in this equation: $r_p$ and $m_p$ .

Next, since you have the line of sight velocity and the period, the distance $r_p$ of the planet to the center of rotation follows immediately:

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} v & = ω R_{P} = \frac{2 π R_{P}}{T} \\ \Rightarrow R_{P} & = \frac{v T}{2 π} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}v &= \omega r_p = \frac{2\pi r_p}{T}\\ \Rightarrow r_p &= \frac{vT}{2\pi}\end{align}\tag2$

Jetzt, wo Sie es haben $r_p$ Sie können in (1) einsetzen und das sollte Ihnen Ihre Antwort geben.

Converting these to the radius of Earth and the mass of Jupiter should be straightforward. It might be worth calculating how different the answer would be if you could assume the planet to be "light" - then the simple case of Kepler's law would tell us

\frac{r_{p}}{r_{e}} = {(\frac{1500}{365.25})}^{\frac{2}{3}} \approx 2.56

$\frac{r_p}{r_e}=\left(\frac{1500}{365.25}\right)^{\frac23}\approx 2.56$

This is not the answer to your question - but how far off is it from the answer you get from the above? Before you do the calculation askyourself this - do you expect the number to be bigger or smaller?

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der Ideenschmied

Floris

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der Ideenschmied

Floris

der Ideenschmied

Floris

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Floris

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