Warum ändert sich diese Gleichung für die Umlaufbahnbewegung nicht mit der Position in der Umlaufbahn?

Die Geschwindigkeit des umkreisenden Weltraumschrotts ist ein Vektor mit sowohl einer radialen als auch einer tangentialen Komponente.

$$\vec{v}_f = \dot{r}_f\hat{r} + r_f\dot{\theta}_f\hat{\theta}$$

(Mein$r_f$ist dein$r$) Die Drehimpulserhaltungsgleichung beinhaltet nur die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit, weil sie aus dem Kreuzprodukt des Radiusvektors und der Geschwindigkeit entsteht.

$$\vec{L}_f = m\vec{r}_f\times\vec{v}_f = mr_f\hat{r}\times\bigl(\dot{r}_f\hat{r} + r_f\dot{\theta}_f\hat{\theta}\bigr) = mr_f(r_f\dot{\theta}_f)\hat{z} = mr_fv_f\hat{z}$$

Aber die Gleichung für die Energieeinsparung beinhaltet beide Komponenten.

$$E_f = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GMm}{r_f} = \frac{1}{2}m\dot{r}_f^2 + \frac{1}{2}mr_f^2\dot{\theta}_f^2 - \frac{GMm}{r_f}$$

Die Kombination$r_F\dot{\theta}_f$entspricht deinem$v_f$, aber die Gleichung, wie Sie sie in der Frage geschrieben haben, fehlt$\frac{1}{2}m\dot{r}_f^2$Begriff, der der Bewegungsenergie zum Mond hin oder vom Mond weg entspricht. An Apapsis und Periapsis (am weitesten und am weitesten entfernte Punkte der Umlaufbahn),$\dot{r}_f = 0$vorübergehend, sodass Sie diesen Begriff ignorieren können, wie es bei dem Problem der Fall ist, nach dem Sie fragen. Aber für andere Punkte auf der Umlaufbahn ist dieser Term ungleich Null, was bedeutet, dass Sie eine zusätzliche Variable haben. Das hindert Sie daran, eine eindeutige Lösung zu finden, ohne anzugeben, an welchem ​​Punkt in der Umlaufbahn Sie sich befinden.