Warum gilt Newtons erstes Gesetz bei dieser Frage nicht?

Question

Warum gilt Newtons erstes Gesetz bei dieser Frage nicht?

Lichtweber

Ich habe die erste Frage in diesem PDF gemacht . Unten ist die Frage und der Beginn ihrer Lösung:

Siehe Abb. 1(a). Ein Projektil von Masse $m$ wird schräg von der Erdoberfläche abgefeuert $\alpha$ aus der Vertikalen. Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ ist gleich $\sqrt{GM_e/R_e}$ . Wie hoch steigt das Projektil? Luftwiderstand und Erdrotation vernachlässigen.

Hinweis: Versuchen Sie nicht, nach der Umlaufbahn aufzulösen! Verwenden Sie stattdessen direkt die Erhaltungssätze.

Wir verwenden den Drehimpulserhaltungssatz. Der Anfangsdrehimpuls ist
$J_{ich N ich T} = R v_{0} Sünde a in die Seite.$ $J_{init} = Rv_0 \sin \alpha \text{ into the page.}$ Der Drehimpuls am Maximumpunkt ist $J_{T Ö P} = R_{M A X} v_{1} in> die Seite,$ $J_{top} = r_{max}v_1 \text{ into > the page,}$ und die Geschwindigkeit ist an diesem Punkt rein tangential zur Erdoberfläche. Das Gleichsetzen dieser Größen ergibt eine Formel für $v_1$ in Bezug auf andere Dinge: $v_{1} = R v_{0} Sünde a / R_{M A X} .$ $v_1 = Rv_0 \sin \alpha /r_{max} \text{.}$

Wie zu sehen, besteht ihr erster Schritt darin, die Erhaltung des Drehimpulses zu verwenden, was es ihnen ermöglicht, die Endgeschwindigkeit zu finden. Obwohl ich verstehe, warum dies gültig ist, verstehe ich jedoch nicht, warum dies notwendig ist. Bei einer gewöhnlichen Projektilbewegung ist der höchste Punkt der Flugbahn eines Projektils wann $v_1=v_0\sin\alpha$ . Als ich die Frage selbst gestellt habe, habe ich das einfach in die Energieeinsparungsgleichung eingefügt und bin dabei

R_{M A X} = \frac{2 R}{{Sünde}^{2} a + 1}

$r_{max}=\frac{2R}{\sin^2\alpha+1}$ Dies widerspricht der Lösung, die lautet

R_{M A X} = \frac{R {Sünde}^{2} a}{1 - \cos a}

$r_{max}=\frac{R\sin^2\alpha}{1-\cos\alpha}$ Warum funktioniert meine Methode nicht? Sind die Kinematik und/oder das erste Newtonsche Gesetz in diesem Fall ungültig? Warum?

Javier

Wenn Sie eine Aufgabe gelöst und eine falsche Antwort erhalten haben, sollten Sie nicht davon ausgehen, dass die Newtonschen Gesetze falsch sind. Du hast wahrscheinlich nur einen Fehler gemacht.

Lichtweber

@Javier Ich gehe nicht davon aus, dass Newtons Gesetze falsch sind. Ich frage nur, was ich falsch gemacht habe. Verwende ich einen nicht inertialen Referenzrahmen?

David Hammen

Auflösen für

1 / r_{max}

$1/r_\text{max}$ ist eine doofe Art, das Problem zu lösen. Es ist viel einfacher, durch zu multiplizieren

(r_{max} / R)^{2}

$(r_\text{max}/R)^2$ und löse nach

x = r_{max} / R

$x=r_\text{max}/R$ , nachgeben

r_{max} = R (1 + \cos α)

$r_\text{max}=R(1+\cos\alpha)$ . Und in der Tat,

\sin^{2} α / (1 - \cos α) = 1 + \cos α

$\sin^2\alpha/(1-\cos\alpha) = 1+\cos\alpha$ .

rauben

Nachdem es bearbeitet wurde (v4), habe ich diese Frage erneut geöffnet.

Antworten (1)

Warum gilt Newtons erstes Gesetz bei dieser Frage nicht?

Wenn Sie eine Aufgabe gelöst und eine falsche Antwort erhalten haben, sollten Sie nicht davon ausgehen, dass die Newtonschen Gesetze falsch sind. Du hast wahrscheinlich nur einen Fehler gemacht.
@Javier Ich gehe nicht davon aus, dass Newtons Gesetze falsch sind. Ich frage nur, was ich falsch gemacht habe. Verwende ich einen nicht inertialen Referenzrahmen?
Auflösen für $1/r_\text{max}$ ist eine doofe Art, das Problem zu lösen. Es ist viel einfacher, durch zu multiplizieren $(r_\text{max}/R)^2$ und löse nach $x=r_\text{max}/R$ , nachgeben $r_\text{max}=R(1+\cos\alpha)$ . Und in der Tat, $\sin^2\alpha/(1-\cos\alpha) = 1+\cos\alpha$ .
Nachdem es bearbeitet wurde (v4), habe ich diese Frage erneut geöffnet.

Javier · Answer 1

Die gleichung $v_1 = v_0 \sin \alpha$ gilt nur für Bewegungen nahe der Erdoberfläche. Bei diesem Problem geht es offensichtlich nicht darum, also können Sie diese Gleichung nicht verwenden. In der Tat können Sie das sehen, wenn $r_{\text{max}} \approx R_e$ , reduziert sich die Gleichung des Buches auf Ihre.

Aber warum ist $v_1=v_0\sin\alpha$ nur gültig für Bewegungen nahe der Erdoberfläche?
@lightweaver: um das zu sehen müsste man sich die Ableitung der Formel anschauen. Aber im Wesentlichen folgt es daraus, dass die x-Komponente der Geschwindigkeit konstant ist. Sie müssen den Boden als flach und die Schwerkraft als gleichmäßig betrachten, damit dies funktioniert.

Warum gilt Newtons erstes Gesetz bei dieser Frage nicht?

Lichtweber

Javier

Lichtweber

David Hammen

rauben

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Javier

Lichtweber

Javier

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