SMBC-Ballsprungproblem

Question

SMBC-Ballsprungproblem

redd.it

Dies kommt aus einem Comic von Saturday Morning Breakfast Cereal (SMBC) mit einer scherzhaften Antwort. Das Problem besagt:

Ein 5 Kilogramm schwerer Ball wird aus 10 Metern Höhe mit 20 Metern pro Sekunde direkt nach rechts geschossen. Der Ball verliert 1 Joule, wenn er die Erde berührt. Nehmen Sie keinen Luftwiderstand an. Wann hört der Ball auf zu springen?

Wie würde man dieses Problem lösen? Das Beste, was ich tun konnte, war anzunehmen, dass die Gesamtenergie des Balls, gegeben durch die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie, wenn er zum ersten Mal geschossen wird, vollständig verloren geht, wenn er aufhört zu springen. Dies würde uns ungefähr 1490 Sprünge geben, wobei jeder Sprung den Ball verlangsamt und ihn ein bisschen tiefer springen lässt.

Dies erfordert immer noch eine Menge Berechnungen (eine riesige Reihe), selbst mit der zusätzlichen Annahme, dass es keine Reibung zwischen dem Ball und dem Boden gibt. Übersehe ich etwas?

Antworten (5)

SMBC-Ballsprungproblem

Jeremy · Answer 1

Wenn man davon ausgeht, dass Impuls in beide Richtungen verloren geht, da kinetische Energie ungerichtet ist, ist es vielleicht am besten anzunehmen, dass sie Energie in jeder "Richtung" proportional zum Sinus und Kosinus des Rückprallwinkels verliert. Unter dieser Annahme bewirkt jeder Aufprall, dass er 2/3 J von der horizontalen Geschwindigkeit und 1/3 von der vertikalen potenziellen Energie verliert. Unter dieser Annahme gibt es 1491 Bounces, jeder linear kleiner als der letzte, die schließlich in einer Entfernung von ungefähr 250 km herauskommen.

Vielleicht möchten Sie an die "ungefähr 250 km Entfernung" denken. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit 20 m/s wäre, würde es in 1500 Sekunden höchstens 30 km zurücklegen.
@ Floris völlig richtig. Auch dieses Problem ist völlig machbar

Kyle Oman · Answer 2

Die Kommentare zu @udiboys Antwort weisen darauf hin, dass dieses Problem etwas schlecht gestellt ist (was für einen Comicstrip meiner Meinung nach in Ordnung ist). Oben scheint es einige Argumente darüber zu geben, ob die Reibung vernachlässigt werden kann (ich stelle fest, dass die Frage NICHT besagt, dass die Reibung vernachlässigt werden soll) und ob die potenzielle Energie der Gravitation erschöpft werden kann, ohne die horizontale Komponente des Impulses zu berühren.

Realistisch gesehen verliert der Ball wahrscheinlich mit jedem Aufprall etwas an Geschwindigkeit und Höhe, und der Vorgang ist ohne weitere Informationen über die Boden-Ball-Interaktion nicht zu berechnen. Aber wir können immer noch eine Einschränkung der Zeit bekommen.

Ich sehe hier zwei Grenzfälle:

1) Der horizontale Impuls wird durch Sprünge nicht beeinflusst (vielleicht ist der Ball reibungsfrei, aber "klebrig"?). Der Ball springt nach jedem Aufprall auf eine etwas niedrigere Höhe und endet mit der gleichen horizontalen Geschwindigkeit, die er bis zur Endzeit hatte, horizontal am Boden entlang zu gleiten. udiboy hat dies in seiner Antwort gelöst, also werde ich sein Ergebnis schamlos stehlen und es die Mindestzeit nennen, bis das Aufprallen aufhört:

T_{M ich N} = \sqrt{\frac{H_{ich}}{G}} + \sum_{1}^{N} \sqrt{\frac{2}{G} \frac{E_{ich} - N}{M G}}

$T_\mathrm{min} = \sqrt{\frac{h_i}{g}} + \sum_1^n \sqrt{\frac{2}{g}\frac{E_i-n}{mg}}$

2) Der Ball verliert bei jedem Aufprall an horizontalem Impuls, springt aber jedes Mal auf die gleiche Höhe, bis er keinen horizontalen Impuls mehr hat. Dann verliert es mit jedem Sprung an Höhe, bis es keine Höhe mehr hat und in Ruhe endet. Dies ist nicht sehr realistisch, aber es ist eine Obergrenze für die Zeit:

T_{M A X} = T_{M ich N} + \sqrt{\frac{H_{ich}}{2 G}} M v_{ich}^{2}

$T_\mathrm{max} = T_\mathrm{min} + \sqrt{\frac{h_i}{2g}}mv_i^2$

Nehmen $g$ sein $10\textrm{ms}^{-2}$ ergibt (vorausgesetzt, ich habe die Berechnung der Summe nicht verpfuscht):

T_{M ich N} = 472 S

$T_\mathrm{min} = 472\mathrm{s}$

T_{M A X} = 1886 S

$T_\mathrm{max} = 1886\mathrm{s}$

Ok, also habe ich nicht gesagt, dass es eine gute Einschränkung sein würde . Aber es ist besser, als ich es gewohnt bin (ah, die Freuden der Astronomie).

Warum sollte der Einfallswinkel nicht der Reflexionswinkel sein? Es ist ein Punktteilchen. Siehe meine Antwort .

Nigel · Answer 3

Wann hört der Ball auf zu springen?

Mit Kinematik bedeutet die Höhe ( $d_y$ ) geht auf Null und die vertikale Geschwindigkeit ( $v_y$ ) auf Null geht, aber die horizontale Geschwindigkeit ( $v_x$ ) wäre konstant, wenn Reibung und Luftwiderstand vernachlässigbar sind, da es nach Beendigung des Prellens weiter gleiten würde. Sie könnten also auflösen, wann $d_y$ = 0 bzw $v_y$ = 0.

Mit Energieerhaltung, potentieller Energie ( $PE_i$ ) gleich der kinetischen Energie ( $KE_i$ ), minus 1,0 J, die bei jedem unelastischen Stoß verloren gehen. Da es in horizontaler Richtung keine Kraft gibt (vernachlässigbare Reibung und Luftwiderstand), gehe ich davon aus, dass die beim Aufprallen verbrauchte Energie nur auf der Energie in vertikaler Richtung basiert, die die Arbeit aufgrund der Schwerkraft sein könnte (unter der Annahme, dass keine Energie vorhanden ist geht durch Materialverformung verloren). Unter Verwendung der vertikalen mechanischen Energie ( $E_y$ ) als anfängliche potentielle Energie gibt uns:

E_{j} = P E_{ich} = M G H = (5) (9.81) (10) = 490.5 J

$E_y = PE_i = mgh \\ = (5)(9.81)(10) \\ = 490.5\ \ J$

Wenn der Ball aufhört zu springen, wird die vertikale mechanische Energie ( $E_y$ ) gleich der Summe der Energieverluste bei jedem Aufprall ( $E_{bounce}$ ), sei n die Anzahl der Bounces:

E_{j} = \sum E_{B Ö u N C e} 490.5 J = (1.0 J) N N = 490.5 B Ö u N C e S

$E_y = \sum E_{bounce} \\ 490.5\ J = (1.0\ J)n \\ n = 490.5\ \rm{bounces}$

Der Ball hört also nach 490,5 Sprüngen auf zu springen, was wirklich nach 490 Sprüngen der Fall ist. (Ich habe keine Zeit, nach t aufzulösen ).

BEARBEITEN , 15. Juli: Die Schwerkraft wäre wahrscheinlich nicht dissipativ (so wie die Schwerkraft in einem Pendel eine Rückstellkraft liefert). Daher muss die Energie auf eine Verformung im Material zurückzuführen sein, die eine Zerlegung in x- und y- Komponenten wie oben gezeigt nicht zulassen würde.

Daher sollte die gesamte mechanische Energie als Summe der potentiellen und kinetischen Energie berechnet und gleich der Summe der Energie gesetzt werden, die bei den Rückprallen dissipiert wird.

E_{T} = M G H + \frac{1}{2} M v^{2} = \sum E_{B Ö u N C e} (5) (9.81) (10) + \frac{1}{2} (5) (20)^{2} = (1.0 J) N N = 1490.5 B Ö u N C e S

$E_T = mgh + \frac{1}{2}mv^2 = \sum E_{bounce} \\ \\ (5)(9.81)(10) + \frac{1}{2}(5)(20)^2 = (1.0\ J)n \\ \\ n = 1490.5\ \rm{bounces}$

Ohne Reibung oder Widerstand angenommen und aufgerundet würde der Ball 1491 Mal abprallen, bevor er zur Ruhe kommt.

Nach 490 Sprüngen bleibt der Ball liegen $0.5J$ von Energie, wohin wird das gehen?
@udiboy: Ja, Sie sollten in dieser Näherung eher aufrunden als abrunden - beim letzten Sprung geht es von 0,5 J auf Null.
Wann ist ein Zeitmaß. Diese Antwort beantwortet die Frage nicht.

udiboy1209 · Answer 4

Wenn wir keine Reibung annehmen , gibt es keine Kraft in horizontaler Richtung, also bewegt sich die Kugel unendlich weiter nach rechts. Wir können davon ausgehen, dass es aufhört zu hüpfen, wenn es keine vertikale Geschwindigkeit hat. Da die Kräfte vollständig in vertikaler Richtung wirken, gibt es keinen Energieverlust aus der kinetischen Energie in horizontaler Richtung. Somit wird dieses 1 Joule dissipiert von der potentiellen Energie sein. PE ist gegeben durch

Δ P = M G H = 500 J

$\Delta P=mgh=500 J$ .

Wir können also sagen, dass es fünfhundert Mal abprallen wird.
Nach dem ersten Aufprall wird das PE $\Delta P=499 J$ und die diesem PE entsprechende Höhe wird sein

Δ P = M G H_{1}

$\Delta P=mgh_1$

∴ H_{1} = \frac{Δ P}{M G} = \frac{499}{50} M

$\therefore h_1=\frac{\Delta P}{mg}=\frac {499}{50}m$ Das bedeutet, dass der Ball nach dem ersten Aufprall bis zu einer Höhe von

\frac{499}{50} m

$\frac{499}{50}m$ . Ebenso nach dem

n^{t h}

$n^{th}$ prallen

H_{N} = \frac{500 - N}{50}

$h_n=\frac {500-n}{50}$

Die Zeit, die ein Ball benötigt, um eine Höhe von zu erreichen $h$ und kommen Sie unter der Schwerkraft zurück, die durch gegeben ist

T = \sqrt{\frac{2 H}{G}}

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ Also Zeit genommen von der

n^{t h}

$n^{th}$ hüpfen auf die

{n + 1}^{t h}

${n+1}^{th}$ Sprung ist

T_{N} = \sqrt{\frac{2 H_{N}}{G}}

$t_n=\sqrt{\frac{2h_n}{g}}$

Eine Zusammenfassung davon sollte Ihnen also die Antwort geben.

T_{T Ö T A l} = \sum_{1}^{N} T_{N}

$T_{total}=\sum_1^n t_n$

Beachten Sie, dass wir nach dem ersten Sprung mit der Summierung begonnen haben . Wir müssen auch die anfängliche Fallzeit hinzufügen, die durch gegeben ist

T_{0} = \sqrt{\frac{H_{ich N ich T ich A l}}{G}}

$t_0=\sqrt{\frac{h_{initial}}{g}}$

Das Problem bei der Berücksichtigung der Reibung: Jetzt gibt es eine Kraft in horizontaler Richtung, also wird sie jedes Mal Arbeit leisten, wenn der Ball springt. Um die Zeit zu finden, müssen wir genau herausfinden, welcher Teil der $1 Joule$ wird durch Reibung und unelastischen Stoß abgebaut. Das wird richtig komplex. Ich weiß nicht, wie ich es machen soll.

Da im ursprünglichen Problem bei jedem Aufprall Energie verloren geht, ist die Kollision per Definition unelastisch. Wenn Energie verloren geht, kann die horizontale Komponente nicht vernachlässigt werden, dh: wie dissipiert Energie nur in vertikaler Richtung? Diese Annahme kann nicht stimmen.
Ich gehe davon aus, dass keine Reibung vorhanden ist, da das Vorhandensein von Reibung dazu führen würde, dass der Ball zu rollen beginnt und dem Ball einen Drehimpuls verleiht. Da das Trägheitsmoment des Balls nicht gegeben war, würde dies eine Lösung des Problems unmöglich machen.
Ich denke, dass diese Frage nicht gut definiert ist, denn wenn die vertikale Geschwindigkeit nach N Sprüngen Null wäre, wäre die horizontale Geschwindigkeit immer noch gleich der Anfangsgeschwindigkeit. Und da Sie davon ausgegangen sind, dass es keine Reibung in horizontaler Richtung gibt, gleitet die Kugel weiter in die horizontale Richtung. Die Frage besagte jedoch, dass der Ball Energie verliert, wenn er die Erde berührt, also auch, wenn er darüber gleitet. Ich denke, es wäre sicherer anzunehmen, dass die horizontale und vertikale Geschwindigkeit nach einem Aufprall um denselben Faktor herunterskaliert werden: $\sqrt{1-\frac{2E}{m(u^2+v^2)}}$ .
@redd.it, es gibt keine Kraft in der Horizontalen, um Arbeit zu leisten und Energie zu zerstreuen (weil ich annehme, dass die Reibung Null ist).
@fibonatic, ich stimme dir zu, die Frage sollte genau angeben, welche Kräfte beteiligt sind, oder sie zumindest von einigen Daten ableiten lassen. Unter der Annahme, dass sich die Geschwindigkeit um denselben Faktor verringert, entspricht die Änderung der vertikalen Geschwindigkeit dem Impuls $Ndt$ wohingegen die horizontale Geschwindigkeitsänderung dem Impuls entsprechen würde $\mu Ndt$ . Wie können wir davon ausgehen, dass sie sich um denselben Faktor ändern?
@udiboy Wenn der Ball auf den Boden trifft, wird Energie abgebaut, nicht unbedingt aufgrund von Reibung. Es könnte Schall oder Hitze sein, aber es gibt kein magisches Mittel, mit dem der Ball nur „vertikale Energie“ verliert. Energie ist eine skalare Größe.
@redd.it, man könnte also sagen, dass beide Annahmen nicht korrekt wären und diese Frage daher nicht gut definiert ist. Wenn Sie jedoch eine der beiden Annahmen nehmen und versuchen würden, eine Antwort zu finden, wüsste ich nicht, wie Sie sie von Hand berechnen könnten. Da ich versucht habe, es mit Matlab mit einer While-Schleife zu berechnen, da fortgesetzt, während der Faktor reell wäre (der Therm, der von 1 subtrahiert wird, ist kleiner als 1).
@redd.it, vielleicht sollte ich umformulieren: Die kinetische Energie , die der vertikalen Komponente der Geschwindigkeit entspricht , ändert sich um $1 joule$ und die der horizontalen Komponente entsprechende kinetische Energie bleibt unverändert, einfach weil sich die vertikale Geschwindigkeit ändert und die horizontale Geschwindigkeit nicht. Die Gesamtenergie nimmt noch um ab $1 Joule$ .
"der horizontalen Komponente entsprechende kinetische Energie bleibt unverändert", warum? Sagen Sie mir nicht, es liegt daran, dass es keine Kraft in horizontaler Richtung gibt, weil es auch keine Kraft in vertikaler Richtung gibt. (Schwerkraft nicht mitgezählt, da sie nicht für den Energieverlust verantwortlich ist)
@udiboy Dann beantworte meine Frage: Wie ändert sich die vertikale Geschwindigkeit? Oder besser gesagt, was verursacht den Verlust der vertikalen Geschwindigkeit?
Bei jedem Aufprall wird eine Normalkraft auf den Ball ausgeübt. Das ist es, was die Geschwindigkeit des Balls umkehrt und gleichzeitig die Größe verringert. Die vertikale Geschwindigkeit wird nach jedem Aufprall sowohl im Vorzeichen als auch in der Größe geändert.
@udiboy Das ändert nichts an der Tatsache, dass der Energieverlust unmöglich nur in vertikaler Richtung sein kann. Wenn die Kollision vollkommen elastisch wäre, würde ich Ihnen zustimmen: Die horizontale Geschwindigkeit würde unverändert bleiben und der Ball würde auf die gleiche Höhe zurückspringen und unbegrenzt weiterspringen. Aber die Kollision ist eindeutig unelastisch und Sie können nicht davon ausgehen, dass der Energieverlust nur in einer Richtung auftritt. Das macht keinen Sinn.
Sie sollten dies als eine andere Frage stellen. Vielleicht kann es jemand anders besser erklären.
Vielleicht sollten wir bei der im Comic gegebenen Antwort bleiben, da nicht ganz klar ist, welche Art von Energieabnahme für diese Frage verwendet werden soll.
Jedes Mal, wenn ich den Ausdruck „Energie in ___ Richtung“ höre, zucke ich zusammen. Energie ist ein Skalar! Energie und Impuls nicht verwechseln! Energie(nicht)einsparung allein reicht nicht aus, um dieses Problem zu lösen. Sie müssen auch wissen, was mit dem Momentum passiert. Dazu ist es erforderlich, die Dynamik des Aufpralls selbst zu verstehen (wie zerstreut der Boden den Impuls?), was in der Frage nicht angegeben ist. Ergo, die Frage ist schlecht gestellt. Zeitraum. Erledigt.

Benutzer121330 · Answer 5

Da wir das Volumen der Kugel nicht kennen, können wir sie als Punktteilchen annähern. Die Reibung zwischen dem Boden und dem Ball wurde erwähnt - ich sage nur, dass wir sie ignorieren sollten, weil a) das Trägheitsmoment (oder eine Möglichkeit, es zu finden) nicht angegeben ist und b) wenn das Der Ball begann sich zu drehen, die Reibung würde statisch, nicht kinetisch. Immer noch ein machbares Problem, aber Sie würden das Trägheitsmoment brauchen.

\begin{array}{rcl} U_{0} & = & \frac{M {\dot{X}}_{0}^{2}}{2} + M G H = 1490 J \\ U_{N} & = & \frac{M {\dot{X}}_{0}^{2}}{2} + M G H - N \end{array}

$\begin{eqnarray} U_0 &=& \frac{m \dot x_0^2}{2} + m g h = 1490\text J\\ U_n &=& \frac{m \dot x_0^2}{2} + m g h - n \end{eqnarray}$

Wo $m$ ist die Masse des Balls, $v_0$ ist die anfängliche (horizontale) Geschwindigkeit, $g$ ist die lokale Oberflächengravitation (angenommen als $9.8 \frac{\text m}{ \text s}$ ), $h$ ist die Anfangshöhe, und $n$ ist die Anzahl der Sprünge und hat die Einheit Joule. Offensichtlich müssen wir eine Summe über die Energie von 1489 bis 1 bilden und die Dauer der ersten Halbparabel hinzufügen.

Auch wenn der Aufprall nicht perfekt elastisch ist, kann ich mir keine Präferenz für einen flacheren oder steileren Winkel nach dem Aufprall vorstellen. Übrigens ist dieser Winkel $35^\circ$ , und nach Reflexion das Verhältnis $\frac{\dot y_n}{\dot x_n} = \frac{\sqrt{2 g h}}{\dot x_0} = \eta \approx \frac{7}{10}$ wäre dann konstant.

Die Dauer der $n$ Sprung ist $t = \frac{2 \dot y_n}{g}$ (aus der Kinematik), also müssen wir nur noch setzen $y_n$ bezüglich $U_n$ . Wenn der Ball den Boden berührt, hat er nur kinetische Energie.

\begin{array}{rcl} U_{N} & = & \frac{M ({\dot{X}}_{N}^{2} + {\dot{j}}_{N}^{2})}{2} \\ U_{N} & = & \frac{M (\frac{{\dot{j}}_{N}^{2}}{η^{2}} + {\dot{j}}_{N}^{2})}{2} \\ U_{N} & = & \frac{M {\dot{j}}_{N}^{2}}{2} (1 + \frac{1}{η^{2}}) \\ {\dot{j}}_{N} & = & \sqrt{\frac{2 U_{N}}{M (1 + \frac{1}{η^{2}})}} \end{array}

$\begin{eqnarray} U_n &=& \frac{m(\dot x_n^2 + \dot y_n^2)}{2} \\ U_n &=& \frac{m(\frac{\dot y_n^2}{\eta^2} + \dot y_n^2)}{2} \\ U_n &=& \frac{m\dot y_n^2}{2}\left( 1 + \frac{1}{\eta^2}\right) \\ \dot y_n &=& \sqrt{\frac{2 U_n}{m \left(1 + \frac{1}{\eta^2} \right)}} \end{eqnarray}$

Ein wenig Algebra machen und die Summe schreiben,

T_{T Ö T A l} = \sqrt{\frac{2 H}{G}} + \frac{2 η}{G} \sqrt{\frac{2}{M (1 + η^{2})}} \sum_{N = 1489}^{1} \sqrt{U_{N}} \approx 1471 S

$t_{total} = \sqrt{\frac{2 h}{g}} + \frac{2 \eta}{g} \sqrt{\frac{2}{m\left(1 + \eta^2\right)}} \sum_{n=1489}^1 \sqrt{U_n} \approx 1471 \text s$

Wenn Sie einen Test schreiben, ist die Summe der Quadratwurzeln ein gewaltiges Problem, aber Sie können das vermeiden (mit dem apokryphen Gauß-Trick ), wenn Sie nach der zurückgelegten Strecke fragen. Ich belasse es als (ziemlich lustige) Übung für den Leser.

Normalerweise führt ein Aufprall zu einem Energieverlust aufgrund von Dissipation im Ball. Es ist ungewöhnlich, dass diese Dissipation eine konstante Zahl (in Joule) ist, was das Problem im Wesentlichen nicht physikalisch macht. Wie Sie den Verlust zwischen horizontaler und vertikaler Geschwindigkeit zuordnen, ist völlig willkürlich, da dies nicht durch die Frage gegeben ist und es keine klare Physik gibt, um zu sagen, "es muss so sein". Aber wenn ich mich entscheiden müsste, würde ich wahrscheinlich sagen, dass der Verlust in vertikaler Richtung liegt, in diesem Fall ist die Anzahl der Sprünge nur die vertikale kinetische Energie geteilt durch 1J und aufgerundet.
@Floris Du hast Recht, dass es sich um ein nicht-physikalisches Problem handelt, was bedeutet, dass wir nicht wirklich testen können, wohin die Energie geht. Wenn wir Billard spielen würden, würden wir uns beide einig sein, dass der Stoßfänger die Energie nimmt, nicht der Spielball.
Gerade weil es nur eine Normalkraft gibt, können Sie die horizontale Geschwindigkeit nicht ändern, und der Winkel wird sich ändern! Sie benötigen eine horizontale Kraft, um den horizontalen Impuls zu ändern.

SMBC-Ballsprungproblem

redd.it

Antworten (5)

Jeremy

Floris

Benutzer121330

Kyle Oman

Benutzer121330

Nigel

udiboy1209

Jerry Schirmer

Benutzer121330

udiboy1209

redd.it

redd.it

fibonatisch

udiboy1209

udiboy1209

redd.it

fibonatisch

udiboy1209

redd.it

redd.it

udiboy1209

redd.it

udiboy1209

fibonatisch

Michael

Benutzer121330

Benutzer121330

Floris

Benutzer121330

Floris