Erstes Integral einer Bewegungsgleichung: μr¨=−kr2μr¨=−kr2\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}

Question

Joebevo

Ich habe eine Bewegungsgleichung (EOM), die ist

μ \ddot{R} = - \frac{k}{R^{2}}

$\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}$

Wie finde ich das erste Integral dieses EOM? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand die einzelnen Schritte zeigen könnte. Ich sollte bekommen

\frac{1}{2} μ {\dot{R}}^{2} = - k (\frac{1}{R} - \frac{1}{R})

$\frac{1}{2}\mu\dot r^2=-k \left( \frac{1}{R}-\frac{1}{r} \right)$

aber ich bin mir nicht sicher, wie ich weiter vorgehen soll.

Achmeteli · Answer 1

Multipliziere die linke und die rechte Seite der Gleichung mit $\dot r$ , und es wird auf beiden Seiten volle Differentiale geben.

man kann es in eine physischere Umgebung bringen. Das erste Integral ist die Energie, also müssen Sie die Energieerhaltung aus dem zweiten Newtonschen Gesetz erhalten. Dazu multiplizierst du beide Seiten mit $\dot r$ um die Kraft zu erhalten, die durch die Kraft erzeugt wird. Die Integration der resultierenden Gleichungen ergibt, dass Energie erhalten bleibt.

Santosh Linkha · Answer 2

Lassen $\dot{r}$ Sei $p$

\frac{D^{2} R}{D T^{2}} = \frac{D P}{D T} = \frac{D P}{D R} \times \frac{D R}{D T} = P \frac{D P}{D R} (1)

${d^2 r \over dt^2} = {dp \over dt } = {dp \over dr}\times {dr \over dt} = p {dp \over dr} \hspace{2 cm} (1)$

Dann haben wir

μ P \frac{D P}{D R} = - \frac{k}{R^{2}}

$\mu p {dp \over dr} = {-\frac{k}{r^2}}$

μ \int P D P = - k \int \frac{D R}{R^{2}}

$\mu \int p \, dp = - k \int {dr \over r^2}$

μ \frac{P^{2}}{2} = \frac{k}{R} + C (2)

$\mu {p^2 \over 2} = {k \over r} + C \hspace{2 cm} (2)$ Vorausgesetzt

\dot{r} (0) = 0

$\large \dot{r}(0) = 0$ Wenn

r = R

$r = R$ , du erhältst

C = - \frac{k}{R} (3)

$C = - {k \over R} \hspace{2 cm} (3)$ Daher ab

(2)

$(2)$ Und

(3)

$(3)$ , wir haben

μ \frac{{\dot{R}}^{2}}{2} = - k [\frac{1}{R} - \frac{1}{R}]

$\mu {\dot{r}^2 \over 2} = -k \left [ {1 \over R}- {1 \over r}\right ]$