Mit welcher Geschwindigkeit fällt ein Komet zum Zeitpunkt des Aufpralls aus dem Unendlichen auf die Erde, wenn die Erde keine Atmosphäre hätte?

Question

Mit welcher Geschwindigkeit fällt ein Komet zum Zeitpunkt des Aufpralls aus dem Unendlichen auf die Erde, wenn die Erde keine Atmosphäre hätte?

Deepak Nath

Mit welcher Geschwindigkeit fällt ein Komet zum Zeitpunkt des Aufpralls aus dem Unendlichen auf die Erde, wenn die Erde keine Atmosphäre hätte? Der Komet fällt radial auf die Erde zu.

Wird diese Geschwindigkeit für Kometen mit unterschiedlichen oder gleichen Massen unterschiedlich sein?

JoshPhysik

Fällt der Komet radial auf die Erde zu?

Deepak Nath

Ja, es fällt radial

DarioP

@joshphysics gibt es eine andere Möglichkeit ab unendlich?

JoshPhysik

@DarioP Ich verstehe nicht, warum nicht. Ziehen Sie zum Beispiel in Betracht, den Kometen aus einer radialen Entfernung abzufeuern

r

$r$ weg mit einer winzigen Geschwindigkeit in tangentialer Richtung. In diesem Fall ist nicht sofort klar, was die Bedingung für eine Kollision mit der Erde ist, aber ich wäre überrascht, wenn eine solche Kollision nicht einfach dadurch arrangiert werden könnte, dass diese Tangentialgeschwindigkeit für einen bestimmten Radius ausreichend klein gemacht wird. Berechnen Sie nun die Kollisionsgeschwindigkeit und nehmen Sie

r \to \infty

$r\to \infty$ .

DarioP

@joshphysics wenn du nimmst

r \to \infty

$r\rightarrow \infty$ Selbst eine verschwindend geringe Tangentialgeschwindigkeit wird Sie davon abhalten, auf die Erde zu fallen. Die Erde sieht von dort aus nur wie ein (mathematischer) Punkt aus, mit nur einer winzigen Abweichung verfehlt man sie und kommt zurück ins Unendliche. Denken Sie auch an die umgekehrte Bewegung: Wie könnten Sie mit einer gewissen tangentialen Geschwindigkeit ausgehend von der Erdoberfläche ins Unendliche gelangen?

JoshPhysik

@DarioP Gute Punkte und elegant ausgedrückt; Ich bin kurz davor, überzeugt zu sein, aber ich brauche mehr Zeit, um darüber nachzudenken. Angesichts Ihrer Beobachtungen vermute ich insbesondere, dass in meiner vorgeschlagenen Konstruktion die anfängliche Tangentialgeschwindigkeit des Objekts mit skalieren müsste

r

$r$ so, dass es im Unendlichen verschwindet. Danke für deine Kommentare; Es scheint, dass meine Intuition für Orbitaldynamik nicht die größte ist.

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/99583/2451 und Links darin.

Antworten (2)

Mit welcher Geschwindigkeit fällt ein Komet zum Zeitpunkt des Aufpralls aus dem Unendlichen auf die Erde, wenn die Erde keine Atmosphäre hätte?

@DarioP Ich verstehe nicht, warum nicht. Ziehen Sie zum Beispiel in Betracht, den Kometen aus einer radialen Entfernung abzufeuern $r$ weg mit einer winzigen Geschwindigkeit in tangentialer Richtung. In diesem Fall ist nicht sofort klar, was die Bedingung für eine Kollision mit der Erde ist, aber ich wäre überrascht, wenn eine solche Kollision nicht einfach dadurch arrangiert werden könnte, dass diese Tangentialgeschwindigkeit für einen bestimmten Radius ausreichend klein gemacht wird. Berechnen Sie nun die Kollisionsgeschwindigkeit und nehmen Sie $r\to \infty$ .
@joshphysics wenn du nimmst $r\rightarrow \infty$ Selbst eine verschwindend geringe Tangentialgeschwindigkeit wird Sie davon abhalten, auf die Erde zu fallen. Die Erde sieht von dort aus nur wie ein (mathematischer) Punkt aus, mit nur einer winzigen Abweichung verfehlt man sie und kommt zurück ins Unendliche. Denken Sie auch an die umgekehrte Bewegung: Wie könnten Sie mit einer gewissen tangentialen Geschwindigkeit ausgehend von der Erdoberfläche ins Unendliche gelangen?
@DarioP Gute Punkte und elegant ausgedrückt; Ich bin kurz davor, überzeugt zu sein, aber ich brauche mehr Zeit, um darüber nachzudenken. Angesichts Ihrer Beobachtungen vermute ich insbesondere, dass in meiner vorgeschlagenen Konstruktion die anfängliche Tangentialgeschwindigkeit des Objekts mit skalieren müsste $r$ so, dass es im Unendlichen verschwindet. Danke für deine Kommentare; Es scheint, dass meine Intuition für Orbitaldynamik nicht die größte ist.
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/99583/2451 und Links darin.

John Rennie · Answer 1

Die beiden vorhandenen Antworten haben beide die richtige Berechnung durchgeführt, aber beide haben vergessen, die Schwerkraft der Sonne zu berücksichtigen. Ein Komet, der vom Rand des Sonnensystems fällt, wird hauptsächlich durch die Schwerkraft der Sonne beschleunigt. Wir können dies aus dem Ausdruck für die potentielle Energie in der Ferne ersehen $r$ :

v = - \frac{G M M}{R}

$V = -\frac{GMm}{r}$

Für die Sonne $M = 1.9891 \times 10^{30}$ Kilogramm und $r$ (Umlaufradius der Erde) $\approx 1.5 \times 10^{11}$ So $V \approx 8.85 \times 10^8 m$ J.

Für die Erde $M = 5.97219 \times 10^{24}$ Kilogramm und $r$ (der Radius der Erde) $\approx 6.4 \times 10^{6}$ So $V \approx 6.15 \times 10^7 m$ J.

Die Wirkung der Schwerkraft der Sonne ist also etwa 14-mal größer. Die Geschwindigkeit des Kometen ist gegeben durch:

\frac{1}{2} M v^{2} = (8.85 \times 10^{8} + 6.15 \times 10^{7}) M

$\frac{1}{2} mv^2 = (8.85 \times 10^8 + 6.15 \times 10^7)m$

was ergibt:

v \approx 43.5 km/sek

$v \approx 43.5 \text{km/sec}$

Aber das berücksichtigt nicht die Geschwindigkeit der Erde um die Sonne. Der Komet könnte ihn frontal oder von hinten treffen und die Grenzen der möglichen Geschwindigkeiten bilden. Sie kann zwischen 12,4 und 72 km/s liegen. Für Ihre Nummer wäre es nicht einmal ein rechter Winkel.
Die Berechnung ist für die Fluchtgeschwindigkeit Erde-Sonne in Ordnung. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Komet die Erde in einem Erde-Sonne-System trifft, tendiert jedoch gegen Null, wenn die anfängliche Entfernung ins Unendliche geht, sie IST Null, wenn sich der Komet nicht auf der Ebene der Erdumlaufbahn befindet. Er wird irgendwo dazwischen vorbeikommen und sich der Sonne nähern (wie es echte Kometen tun).

DarioP · Answer 2

Die Gravitationsenergie des Kometen im Unendlichen wird in kinetische Energie des Kometen umgewandelt. Berufung $m$ die Masse des Kometen, $M$ die Masse der Erde, $r$ den Radius der Erde haben wir:

G \frac{M M}{R} = \frac{1}{2} M v^{2}

$G\frac{mM}{r} = \frac{1}{2}m v^2$

Wo $G$ ist die Gravitationskonstante und $v$ ist die Geschwindigkeit des Kometen, wenn er auf die Oberfläche trifft. Daher:

v = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} \approx 11 km/s

$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \approx 11\;\text{km/s}$

Dies wird auch als Fluchtgeschwindigkeit bezeichnet, denn wenn Sie einem Objekt diese Geschwindigkeit aufprägen können, kann es aus dem Einflussbereich der Erde entkommen. Wie Sie sehen können, hängt es nicht von der Masse des Objekts ab.

Mit welcher Geschwindigkeit fällt ein Komet zum Zeitpunkt des Aufpralls aus dem Unendlichen auf die Erde, wenn die Erde keine Atmosphäre hätte?

Deepak Nath

JoshPhysik

Deepak Nath

DarioP

JoshPhysik

DarioP

JoshPhysik

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John Rennie

DarioP

DarioP

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