Freier Fall in einem ungleichförmigen Feld

Question

Freier Fall in einem ungleichförmigen Feld

Superschlange2718

Stellen Sie sich vor, ich wäre ein Weltraumtaucher mit Masse $m_1$ , 500 Meilen über der Erdoberfläche bei $x_i$ . Ich möchte meine Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktion der Zeit berechnen, wobei ich das ungleichmäßige Gravitationsfeld der Erde berücksichtige und den Luftwiderstand vernachlässige. Ich habe einige grundlegende Berechnungen durchgeführt und bin verwirrt über die Antwort, die ich bekomme; es scheint keine Beschleunigung als Funktion der Zeit zu implizieren, wenn ich im Ruhezustand starte. Rein Newtonsches Regime. Hier stelle ich mir vor, dass ich rein entlang der x-Achse falle:

Energieerhaltung: (Erdmasse $m_2$ , Tauchermasse $m_1$ )

\frac{1}{2} M_{1} {\dot{X}}^{2} = \frac{G M_{2} M_{1}}{X}

$\frac{1}{2}m_1 \dot{x}^2 = \frac{G m_2 m_1}{x}$

Quadratwurzel und Integrieren:

\int_{X_{ich}}^{X (T)} X^{1 / 2} D X = \int_{0}^{T} (2 G M_{2})^{1 / 2} D T

$\int_{x_i}^{x(t)} x^{1/2} dx = \int_0^t (2Gm_2)^{1/2} dt$

Dies ergibt die Lösung

X (T) = (\frac{3}{2} (2 G M_{2})^{1 / 2} T + X_{ich}^{3 / 2})^{2 / 3}

$x(t) = ( \frac{3}{2} (2Gm_2)^{1/2} t + x_i^{3/2} )^{2/3}$

Mein Problem dabei ist jedoch, dass dies zu implizieren scheint, dass die Geschwindigkeitsskalen:

\dot{X} \sim T^{- 1 / 3},

$\dot{x} \sim t^{-1/3} ,$

aber wenn ich bei t = 0 in Ruhe beginne, scheint es, dass meine Geschwindigkeit nicht zunimmt, sondern mit der Zeit abnimmt? Was mache ich hier falsch? Stimmt etwas nicht mit meiner Annahme, dass ich mich einfach einordnen kann? $x_i$ mit Nullgeschwindigkeit? Man würde erwarten, dass die Geschwindigkeit des Tauchers als Funktion der Zeit und des Gravitationsfeldes zunimmt (da es stärker wird, je näher ich der Erdoberfläche komme).

Das sollte einfach sein, aber mir fehlt etwas?

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Dirakologie · Answer 1

Ihr Fehler liegt in Ihrer Energieerhaltungsgleichung. So wie du es geschrieben hast, gilt es nur beim Fallen aus der Unendlichkeit, aus der Ruhe. Das Richtige ist:

D E = D K + D U = 0,

$dE=dK+dU=0,$ das ist

M v D v = - \frac{K}{X^{2}} D X,

$mvdv=-\frac{K}{x^2}dx,$ Wo

K \equiv G m_{1} m_{2}

$K\equiv Gm_1m_2$ . Integrieren von

(x_{i}, v_{i})

$(x_i,v_i)$ Zu

(x, v)

$(x,v)$ wir bekommen

\frac{1}{2} M (v^{2} - v_{ich}^{2}) = K (\frac{1}{X} - \frac{1}{X_{ich}}) .

$\frac 12m(v^2-v_i^2)=K\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_i} \right).$ Dies ist die richtige Gleichung, mit der Sie beginnen müssen. Jetzt

v = \frac{D X}{D T} = \pm \sqrt{v_{ich}^{2} + \frac{2 K}{M} (\frac{1}{X} - \frac{1}{X_{ich}})} .

$v=\frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{v_{i}^2+\frac{2K}{m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_i} \right)}.$ Vorausgesetzt

v_{i} = 0

$v_i=0$ und Integrieren wieder aus

(t = 0, x_{i})

$(t=0,x_i)$ Zu

(t, x)

$(t,x)$ wir erhalten

T = - \int_{X_{ich}}^{X (T)} \frac{D X}{\sqrt{\frac{2 K}{M} (\frac{1}{X} - \frac{1}{X_{ich}})}},

$t=-\int_{x_i}^{x(t)}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2K}{m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_i} \right)}},$ wobei ich das Minuszeichen verwende, weil die Achse nach oben gerichtet ist. Um dieses Integral zu lösen, verwenden Sie die Substitution

x = x_{i} \sin^{2} θ

$x=x_i\sin^2{\theta}$ ,

T = - \sqrt{\frac{2 M X_{ich}^{3}}{K}} \int_{\frac{π}{2}}^{θ (X)} {Sünde}^{2} θ D θ,

$t=-\sqrt{\frac{2mx_i^3}{K}}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta(x)}\sin^2{\theta}d\theta,$ Wo

θ (x) = \arcsin \sqrt{\frac{x}{x_{i}}}

$\theta(x)=\arcsin{\sqrt{\frac{x}{x_i}}}$ . Deshalb,

T = \sqrt{\frac{M X_{ich}^{3}}{2 K}} [\frac{π}{2} - \arcsin \sqrt{\frac{X}{X_{ich}}} - \frac{1}{2} Sünde (2 \arcsin \sqrt{\frac{X}{X_{ich}}})] .

$t=\sqrt{\frac{mx_i^3}{2K}}\left[\frac{\pi}{2}-\arcsin{\sqrt{\frac{x}{x_i}}}-\frac 12 \sin\left(2\arcsin{\sqrt{\frac{x}{x_i}}}\right)\right].$ Diese Gleichung kann jedoch nicht gelöst werden

x

$x$ .

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Dirakologie

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