Formel der Fluchtgeschwindigkeit

Question

Formel der Fluchtgeschwindigkeit

Benutzer179960

Bei der Ermittlung des Verhältnisses von Fluchtgeschwindigkeit und -radius stieß ich auf ein Problem.

(ich)

v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

$v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Dies besagt das $v_e$ ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel des Radius .

(ich)

v_{e} = \sqrt{2 G R}

$v_e=\sqrt{2gR}$

Dies besagt das $v_e$ ist direkt proportional zur Quadratwurzel des Radius .

Wer ist richtig?

Sammy Rennmaus

Die beiden Formeln widersprechen sich nicht, da sie nicht dieselben Variablen verwenden.

Antworten (4)

Formel der Fluchtgeschwindigkeit

Die beiden Formeln widersprechen sich nicht, da sie nicht dieselben Variablen verwenden.

Floris · Answer 1

Das Problem ist gelöst, wenn Sie das erkennen $g$ in Ihrer zweiten Formel ist eine Funktion von $R$ : Wenn

F = \frac{G M M}{R^{2}}

$F = \frac{GMm}{r^2}$

wird umgeschrieben als

F = M G

$F = mg$

Dann folgt das

G = \frac{G M}{R^{2}}

$g = \frac{GM}{r^2}$

Wenn Sie das in Ihre zweite Gleichung einsetzen, erhalten Sie die erste ...

Das heißt, die richtige Beziehung ergibt sich aus der ersten..
Sie haben beide Recht, wenn Ihr zweiter die Quadratwurzel für das Ganze hat.
Es ist nicht widersprüchlich. Wenn Sie sich in einer sehr hohen Umlaufbahn befinden (z. B. in der Nähe des Mondes), können Sie der Erdanziehungskraft von dort aus mit einer geringeren Geschwindigkeit entkommen, als Sie in Erdnähe benötigen würden. Die zweite Gleichung, die Sie haben, drückt Dinge relativ zur lokalen Schwerkraft in der Höhe aus, in der Sie sich befinden (die selbst mit dem umgekehrten Quadrat der Entfernung zum Erdmittelpunkt abfällt). Also eher als überlegen $g$ Ständig und verwirrt, sollte man es wirklich erkennen $g(r)$ , erweitern Sie den Ausdruck und stellen Sie fest, dass es keinen Widerspruch gibt.
Danke ... das heißt , das g im zweiten ist eine Funktion von R ... es gibt zwei Variablen ...

Färcher · Answer 2

Wenn Sie eine Beziehung zwischen zwei Variablen schreiben $x$ Und $y$ als $y \propto x$ Sie können dies auch als schreiben $y=kx$ Wo $k$ ist eine Konstante unabhängig von $x$ Und $y$ .

Annehmen, dass $R$ ist der Radius des Planeten, $M$ .

Mit Ihrer ersten Gleichung haben Sie angegeben, dass die Fluchtgeschwindigkeit $v_{\rm c}$ ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel des Radius, $\sqrt R$ , sofern die Masse, $M$ , ist konstant.
Aber Sie haben ein Problem, weil Sie davon ausgehen, dass es sich um einen homogenen kugelförmigen Planeten mit Dichte handelt $\rho$ die Masse $M = \frac 43 \pi R^3 \rho$ und die Masse hängt vom Radius ab, also was Sie als Konstante angenommen haben, $2GM$ , ist nicht unabhängig vom Radius.

Für die zweite Gleichung sagen Sie, dass die Fluchtgeschwindigkeit $v_{\rm c}$ ist proportional zur Quadratwurzel des Radius, $\sqrt R$ , bereitgestellt $g$ ist konstant.
Jedoch $g = \frac{GM}{R^2}$ so ist es nämlich auch darauf angewiesen $R$ wodurch Ihre zweite Proportionalität ungültig wird.

Sie können jedoch zeigen, dass bei konstanter Dichte die Fluchtgeschwindigkeit aus einem homogenen kugelförmigen Planeten proportional zum Radius des Planeten ist.

Höhlenmensch · Answer 3

Sie können die Scape-Geschwindigkeit ableiten, indem Sie die Energie an der Oberfläche und dann im Unendlichen berechnen

\begin{matrix} (1) & E_{S u R F} = \frac{1}{2} M v^{2} - G \frac{M M}{R} \end{matrix}

$E_{\rm surf} = \frac{1}{2}mv^2 -G\frac{M m}{R} \tag{1}$

Sie wollen finden $v$ so dass die Masse $m$ erreicht die Unendlichkeit $r\to\infty$ mit Nullgeschwindigkeit, das heißt

\begin{matrix} (2) & E_{inf} = 0 \end{matrix}

$E_{\inf} = 0 \tag{2}$

Wenn Sie diese beiden Gleichungen zusammensetzen

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{2} M v_{e}^{2} - G \frac{M M}{R} = 0 \Rightarrow v_{e} = {(\frac{2 G M}{R})}^{1 / 2} \end{matrix}

$\frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{Mm}{R} = 0 ~~~\Rightarrow~~~ v_e = \left(\frac{2GM}{R}\right)^{1/2} \tag{3}$

Aber jetzt, die Kraft, die $m$ fühlt sich an der Oberfläche ist

\begin{matrix} (4) & F = - G \frac{M M}{R^{2}} = - (\frac{G M}{R^{2}}) M = - G M mit G = \frac{G M}{R^{2}} \end{matrix}

$F = -G\frac{Mm}{R^2} = -\left(\frac{G M}{R^2}\right)m = -g m ~~~\mbox{with}~~~ g = \frac{GM}{R^2}\tag{4}$

Ersetzen von Gl. (4) in Gl. (3) Sie bekommen

\begin{matrix} (5) & v_{e} = {(2 G R)}^{1 / 2} \end{matrix}

$v_e = \left(2 g R\right)^{1/2} \tag{5}$

Würden Sie bitte die richtige Beziehung zwischen g und R angeben ?

Nemo · Answer 4

$g$ ist definiert als:

G = \frac{G M}{R^{2}}

$g=\frac{GM}{R^2}$

Die Fluchtgeschwindigkeit beträgt:

v_{e} = {(\frac{2 G M}{R})}^{0,5}

$v_{e}=\left(\frac{2GM}{R}\right)^{0.5}$

Sie können diese Gleichung in Bezug auf schreiben $g$ diesen Trick machen:

v_{e} = {(\frac{2 G M}{R} \frac{R}{R})}^{0,5} = {(2 \frac{G M}{R^{2}} R)}^{0,5} = {(2 G R)}^{0,5}

$v_{e}=\left(\frac{2GM}{R}\frac{R}{R}\right)^{0.5}=\left(2\frac{GM}{R^2}R\right)^{0.5}=\left(2gR\right)^{0.5}$

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