Übt eine Waffe genug Schwerkraft auf die abgefeuerte Kugel aus, um sie zu stoppen?

Question

Übt eine Waffe genug Schwerkraft auf die abgefeuerte Kugel aus, um sie zu stoppen?

JadaLovelace

Meine Frage bezieht sich auf folgende Situation:

Du hast ein völlig leeres Universum ohne Grenzen.
In diesem Universum gibt es eine einzelne Waffe, die eine Kugel enthält.
Die Waffe feuert die Kugel ab und der Rückstoß lässt beide in entgegengesetzte Richtungen fliegen.

Der Einfachheit halber nehme ich das Trägheitsbezugssystem der Waffe. Die Waffe feuerte die Kugel von ihrem Massenschwerpunkt ab, sodass sie sich nicht dreht. Wir haben jetzt eine Kugel, die von der Waffe wegrast. Es gibt keine Reibung. Das einzige, was in diesem Universum Schwerkraft ausübt, ist die Waffe und die Kugel.

Würde die Kugel bei einer ausreichend langen Zeitspanne auf die Waffe zurückfallen? Oder gibt es eine Grenze für die Entfernung, die die Schwerkraft erreichen kann?

David z

Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; Diese Konversation wurde in den Chat verschoben .

Gonenc

Nun, ein kugelförmiges Universum hat keine Grenzen. Technisch gesehen (auf sehr falsch interpretierte Weise) ja, wenn Sie eine Kugel oder ein Donut-Universum wählen, erhalten Sie Ihre Kugel zurück.

Antworten (5)

Übt eine Waffe genug Schwerkraft auf die abgefeuerte Kugel aus, um sie zu stoppen?

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Nun, ein kugelförmiges Universum hat keine Grenzen. Technisch gesehen (auf sehr falsch interpretierte Weise) ja, wenn Sie eine Kugel oder ein Donut-Universum wählen, erhalten Sie Ihre Kugel zurück.

John Duffield · Answer 1

Übt eine Waffe genug Schwerkraft auf die abgefeuerte Kugel aus, um sie zu stoppen?

Nein.

Würde die Kugel bei einer ausreichend langen Zeitspanne auf die Waffe zurückfallen?

Nein.

Oder gibt es eine Grenze für die Entfernung, die die Schwerkraft erreichen kann?

Nein.

Aber die Geschwindigkeit der Kugel übersteigt die Fluchtgeschwindigkeit . Siehe Wikipedia, wo Sie lesen können, dass die Fluchtgeschwindigkeit in einer bestimmten Entfernung durch die Formel berechnet wird

v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}

$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Stellen Sie sich vor, Sie spielen dieses Szenario umgekehrt. Sie haben eine Kugel und eine Waffe, eine Zillion Lichtjahre voneinander entfernt, bewegungslos in Bezug auf eine andere. Du beobachtest und wartest, und nach einer Unmenge von Jahren bemerkst du, dass sie sich aufgrund der Schwerkraft aufeinander zubewegen. (Der Einfachheit halber sagen wir, die Waffe ist bewegungslos und die Kugel fällt auf die Waffe). Nach weiteren Bazillionen Jahren haben Sie die Kugel den ganzen Weg zurück zur Waffe verfolgt und bemerken, dass sie mit 0,001 m/s kollidieren. Sie überprüfen Ihre Summen und stellen fest, dass dies ungefähr richtig ist, vorausgesetzt, die Waffe wäre so massiv wie die 5,972 × 10 der Erde $^{24}$ kg, wäre die Kugel mit 11,7 km/s auf sie aufgeschlagen. Fluchtgeschwindigkeit ist die Endgeschwindigkeit eines fallenden Körpers, die in einer "unendlichen" Entfernung beginnt. Wenn Sie ein Projektil von der Erde mit mehr als Fluchtgeschwindigkeit abfeuern, kommt es nie wieder zurück.

OK, gehen wir jetzt zurück zum ursprünglichen Szenario. Sie feuern die Waffe ab und die Kugel geht mit 1000 m/s los. Wenn die Kugel eine Million Lichtjahre entfernt ist, hat sich ihre Geschwindigkeit auf 999,999 m/s verringert. Denn die Fluchtgeschwindigkeit der Waffe beträgt 0,001 m/s. Die Schwerkraft der Waffe wird niemals ausreichen, um diese Kugel aufzuhalten, selbst wenn sie alle Zeit der Welt und allen Tee in China gehabt hätte.

Einige der Kommentare waren alt, und einige wichen vom beabsichtigten Zweck der Kommentare ab; Ich habe sie alle in den Chat verschoben .
Ihre endgültige Berechnung ist falsch, da die Energie mit dem Quadrat der Geschwindigkeit variiert. Also die "endgültige" Geschwindigkeit wird eher gleich sein $\sqrt{1000^2-0.001^2}\approx999.9999999995$ .
Wäre schön, dies auch in Bezug auf potentielle Energie zu erklären, da dies die Formel für erklärt $v_e$ anstatt aus der Luft zu greifen :-)
@Marc van Leeuwen: Ja, tut mir leid, Mark, ich habe vergessen, es zu klären, und habe nur eine Zahl eingegeben. Demütige Entschuldigung.

Jonas Greitemann · Answer 2

Wie von Stephen Mathey in den Kommentaren erwähnt, für jeden Körper mit Masse $M$ und Radius $r$ , es gibt eine Geschwindigkeit, die man erreichen muss, um der Schwerkraft des Körpers gut zu entkommen. Das ist die Fluchtgeschwindigkeit

v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}

$v_e=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$ wo

G

$G$ ist Newtons Gravitationskonstante,

M

$M$ ist die Masse des Körpers, aus dem Sie entkommen, und

r

$r$ ist der Abstand vom Schwerpunkt, bei dem die Fluchtgeschwindigkeit erreicht werden muss.

Normalerweise wendet man dieses Konzept auf Planeten (oder Monde) an $r$ ist der Radius des Planeten (Mond) und die Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die eine Rakete (in Bezug auf Delta-v) benötigen würde, um dem Planeten (Mond) zu entkommen. Hier könnte man den Abstand vom Massenmittelpunkt der Waffe bis zur Mündung des Laufs nehmen. Während sich das Geschoss noch im Lauf befindet, kann es aufgrund expandierender Gase noch beschleunigen. Sagen Sie, dass die Entfernung ist $10~\mathrm{cm}$ . Nehmen wir außerdem an, dass die Waffe ein Kilogramm wiegt. Dann ist die Fluchtgeschwindigkeit so klein wie $37~\mu\mathrm{m}/\mathrm s$ .

Also, ja, diese Kugel kommt sicher nicht zurück.

... es sei denn, das Universum ist im 3-Raum begrenzt und die Kugel taucht eines Tages von hinten auf :-)
@carl Ich bin mir nicht sicher, wie potenzielle Felder in einem begrenzten Universum funktionieren würden. Besonders die Schwerkraft, obwohl die Schwerkraft keine abstoßenden Ladungen hat.
@CarlWitthoft ... mit nur 1 kg Masse gibt es keine Möglichkeit, dass das Universum "begrenzt" wäre, also stimme ich zu, dass die Kugel nicht zurückkommt.

Nzall · Answer 3

Für eine etwas extreme Antwort: Wie massiv sollte die Waffe sein, um eine Fluchtgeschwindigkeit zu haben, die größer ist als die Geschossgeschwindigkeit? Ich gehe davon aus, dass wir eine 357 Magnum verwenden, die von einem Desert Eagle abgefeuert wurde und sich tatsächlich am unteren bis mittleren Ende der Mündungsgeschwindigkeitsskala befindet:

Quelle: http://wredlich.com/ny/2013/01/projectiles-muzzle-energy-stopping-power/

Ein Desert Eagle hat einen 15 cm langen Lauf. Verwenden der Formel in anderen Antworten:

v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}

$v_\mathrm e=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Füllen Sie die Zahlen aus:

v_{e} = \sqrt{\frac{2 \times G \times M}{0,15 m}}

$v_\mathrm e=\sqrt{\frac{2\times G\times M}{0.15\ \mathrm m}}$

(410 m / s)^{2} = \frac{2 \times G \times M}{0,15 m}

$(410\ \mathrm{m/s})^2=\frac{2\times G\times M}{0.15\ \mathrm m}$

1,68 \times 10^{5} m^{2} s^{- 2} = 13 m^{- 1} \times G \times M

$1.68\times10^5\ \mathrm{m^2\ s^{-2}}=13\ \mathrm{m^{-1}}\times G\times M$

M = 1.9 \times 10^{14} k g

$M=1.9\times10^{14}\ \mathrm{kg}$

Hinweis: Ich bin mir nicht sicher, wie genau diese Zahl ist. Ich habe diese Variablen in 2 Online-Rechner eingegeben. Einer von ihnen kam auf diese Antwort ( http://calculator.tutorvista.com/escape-velocity-calculator.html ), der andere kam auf eine Zahl, die die gleichen Zahlen sind, aber um viele Größenordnungen kleiner: $1889.4434\ \mathrm{kg}$ ( https://www.easycalculation.com/physics/classical-physics/escape-velocity.php ). Ich bin mir nicht sicher, warum diese 2 Zahlen so unterschiedlich sind.

Es ist 1,889 * 10^14 kg , nicht 1,889 * 10^3 kg. Ich bin mir nicht sicher, warum der zweite Rechner das gesagt hat.
Über aussagekräftige Zahlen sollten Sie sich informieren . Insbesondere haben Sie 2, also ist Ihre Antwort nur das 19-fache einer Potenz von 10. Außerdem sollten Sie unter keinen Umständen Mengen ohne Einheiten in eine Gleichung einsetzen.
1,9* 10^14kg ist eigentlich gar nicht so viel. Ein Kubikmeter Gestein kann bis zu 3 Tonnen (3*10^3kg) wiegen, also bräuchten wir ein Volumen von 1,9/3*10^11 Kubikmetern. Dies ist eine Felskugel mit einem Durchmesser von 4,9 km. Es gibt im Sonnensystem viele Zehntausende von Objekten dieser Größe oder größer – möglicherweise sogar Millionen. Der Halleysche Komet und Deimos, der zweite Mond des Mars, haben beide etwa den doppelten Durchmesser: Sie könnten also keine Kugel von ihnen abfeuern, selbst wenn sie hauptsächlich aus Eis bestanden.
@DewiMorgan Die Sache ist, das sind nicht 1,9 * 10 ^ 14 kg Gestein in einer 4,9 km großen Kugel. Das ist so viel Gestein in einer 10-cm-Kugel. Das ist nahe an der Dichte eines Neutronensterns. Eine 4,9 km große Kugel mit 1,9 * 10 ^ 14 kg Gestein hätte eine viel geringere Fluchtgeschwindigkeit, denke ich, sogar niedriger als die der Erde.
@ChrisWhite Ich habe die Einheiten in dieser Gleichung weggelassen, weil ich wusste, dass sie ausgecheckt sind und es einfach einfacher war, ohne die Einheiten zu schreiben. Ich weiß auch nicht, wie Mathjax funktioniert, also habe ich einfach den Code von John Duffields Antwort genommen und alles außer G durch die richtigen Zahlen ersetzt. Ich wollte zuerst auch G ersetzen, habe aber G mit verwechselt $G_{0}$ $G_0$ und bemerkte es nicht, bis ich meine Mathematik mit dem ersten Online-Rechner überprüfte.
@Nate Sie haben gefragt, wie massiv eine Waffe Sie brauchen würden. Ich habe nur daraus extrapoliert zu "Da die meisten Waffen leichter sind, wie groß müsste ein Stein sein, um Klebeband an der Waffe anzubringen, damit dies funktioniert?" da die meisten Menschen sich eine Waffe mit 10 ^ 14 kg nicht vorstellen können und dies ein nützlicheres mentales Modell ergeben würde. Entschuldigung, wenn ich mich da unklar ausgedrückt habe.
Oh, und +1 auch für den Kommentar zu Neutronensternen. Ich habe nachgesehen, und bei 10 ^ 18 kg / m ^ 3 wären sie ungefähr 10 ^ 14 in einem Volumen von ungefähr 1 mm x 1 cm x 1 cm, was ziemlich nahe an der Größe einer Waffe liegt. Der Nachteil ist, dass der kleine Einsatz von Neutronen die Waffe ungewöhnlich machen würde

Daniel Darabos · Answer 4

Die Schwerkraft der Waffe übt immer eine Kraft auf die Kugel aus. Die Kugel wird für immer immer langsamer werden. Die Verzögerungsrate ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung von der Waffe. Je weiter es ist, desto langsamer ist die Verzögerung.

Es ist logisch zu glauben, dass etwas, das sich für immer verlangsamt, irgendwann aufhört. Aber das stimmt nicht immer.

Wenn die Kugel langsamer wird, verliert sie kinetische Energie. Dies kann als Integral der Kraft berechnet werden, die auf ihn wirkt, während er sich aus der Entfernung bewegt $r_1$ zu $r_2$ .

Δ K = - \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{G M m}{r^{2}} d r

$\Delta K = -\int_{r_1}^{r_2} \frac{GMm}{r^2}\,dr$

Dieser Energieverlust ist nie Null, aber seine Gesamtsumme ist begrenzt. (Durch eine ähnliche Logik wie eine geometrische Reihe konvergieren kann.) Wenn die anfängliche kinetische Energie größer war als die Grenze für den Energieverlust, bleibt etwas übrig, egal wie viel Zeit vergangen ist. Mit anderen Worten, das Geschoss wird kontinuierlich langsamer, fällt aber nie unter eine bestimmte Geschwindigkeit.

Die in den anderen Antworten erwähnte Fluchtgeschwindigkeit ist die Anfangsgeschwindigkeit, bei der die Kugel genauso viel kinetische Energie hat wie die Grenze der verlorenen Energie. Wenn dies genau die Anfangsgeschwindigkeit ist, wird das Geschoss langsamer und seine Geschwindigkeit geht gegen Null. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit höher ist, tendiert die Geschwindigkeit des Geschosses zu einem positiven Wert. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit niedriger ist, verliert das Geschoss nach einer endlichen Zeit seine gesamte Geschwindigkeit und beginnt zurückzufallen.

Hritik Narayan · Answer 5

Unter der Annahme, dass die Masse der Waffe ( $M$ ) ist viel größer als die der Kugel ( $m$ ) , die Nettokraft auf die Kugel ist: (Aus dem Rahmen der Waffe.)

m \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = m v \frac{d v}{d r} = - \frac{G M m}{r^{2}}

$m \frac{d^2r}{dt^2}=mv\frac{dv}{dr}=-\frac{GMm}{r^2}$

Die Gleichheit ergibt sich aus der Beschleunigung $\frac{dv}{dt}$ , was gleich ist $\frac{dv}{dr}\frac{dr}{dt}$ , (über die Kettenregel) der zweite Term ist die Geschwindigkeit.

Nach Integration erhalten wir:

\frac{m v^{2}}{2} - \frac{G M m}{r} = c

$\frac {mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}=c$

Wenn wir davon ausgehen, dass die Kugel in unendlicher Entfernung stoppt (dh sie entkommt der Waffe, um nie wieder zurückzukehren), wäre ihre Energie zu diesem Zeitpunkt null.

Daraus erhalten wir:

v_{ich} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}

$v_i=\sqrt\frac{2GM}{r}$ (wo

r

$r$ ist der Abstand vom Massenmittelpunkt der Waffe bis zu dem Punkt, an dem sie die Waffe verlassen hat.)

Dies ist die Fluchtgeschwindigkeit des Geschosses. (wie @Jonas und @Steven Mathey und @John Duffield erwähnt haben.)

Bei allen höheren Anfangsgeschwindigkeiten wäre die Gravitationskraft der Waffe nicht in der Lage, die Kugel zurückzuziehen. Wenn man bedenkt, wie gering der Wert von $v_i$ Im Allgemeinen wird mit durchschnittlichen Geschossgeschwindigkeiten verglichen, das Geschoss wird meistens entkommen.

(Die anfängliche Annahme hilft, die Mathematik zu vereinfachen, aber es ist keine absurde Annahme. Diese Annahme ist das mathematische Äquivalent zu der Aussage, dass sich die Waffe aufgrund der Kraft, die die Kugel darauf ausübt, überhaupt nicht bewegen würde.)

Übt eine Waffe genug Schwerkraft auf die abgefeuerte Kugel aus, um sie zu stoppen?

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