Warum ist v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} keine gültige Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit?

Question

Warum ist v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} keine gültige Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit?

BRAND

Erstens weiß ich, dass die Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit lautet

\begin{matrix} (1) & v_{fliehen} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} \end{matrix}

$v_{\text{escape}}=\sqrt{\frac{2\,GM}{r}}\tag{1}$ und verstehe seine Ableitung.

Das Folgende ist solch eine einfache Ableitung; für einen Testkörper der Masse $m$ im Orbit mit einem massiven Körper (als kugelförmig angenommen) mit Masse $M$ und Trennung $r$ zwischen den beiden Körperzentren. Das Gleichsetzen der Zentripetalkraft mit der Gravitationskraft ergibt;

\begin{matrix} (2) & \frac{M v^{2}}{R} = \frac{G M M}{R^{2}} \end{matrix}

$\frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}\tag{2}$ was auf Vereinfachung, gibt

\begin{matrix} (3) & v = \sqrt{\frac{G M}{R}} \end{matrix}

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\tag{3}$

Was ich gerne wissen würde ist, warum Gl $(3)$ ist keine gültige Fluchtgeschwindigkeitsgleichung?

Oder anders ausgedrückt, mathematisch ausgedrückt, die Ableitung in $(2)$ scheint solide; aber es ist um einen Faktor von $\sqrt{2}$ . Was „fehlt“ bei der Herleitung $(2)$ ?

BEARBEITEN:

Wie ich im Kommentar unten erwähnt habe, verstehe ich diese Gleichung, nur um das klarzustellen $(3)$ ergibt die Geschwindigkeit, die für eine gebundene Kreisbahn erforderlich ist. Aber um zu entkommen, sollte es folgen, dass sich die Testmasse mit einer beliebigen Geschwindigkeit bewegen muss, die unendlich viel größer ist als $\sqrt{\frac{GM}{r}}$ so dass

v_{Flucht aus der Umlaufbahn} > \sqrt{\frac{G M}{R}}

$v_{\text{escape from orbit}}\gt\sqrt{\frac{\,GM}{r}}$

Also mit anderen Worten Gl $(3)$ ergibt die kleinstmögliche Geschwindigkeit für eine gebundene Kreisbahn. Ich habe dies als „Fluchtgeschwindigkeit“ bezeichnet; da größere Geschwindigkeiten zu einer nicht kreisförmigen Umlaufbahn führen und noch größere Geschwindigkeiten zu einem Verlassen der elliptischen Umlaufbahn führen.

Also meine letzte Frage ist; mache die Formeln $(1)$ Und $(3)$ Geben Sie tatsächlich die höchstmögliche Geschwindigkeit an, um dem Orbit nicht zu entkommen, anstatt die "Fluchtgeschwindigkeit" selbst?

Vielen Dank an alle, die diese Antworten beigetragen haben.

Rishi Kakar

Sie haben die Energie verfehlt, die erforderlich ist, um die Testmasse dorthin zu bringen

Nemo

Wenn Sie die Kräfte gleichsetzen, erhalten Sie die Umlaufgeschwindigkeit.

BRAND

@RishiKakkar Wie ich schon ganz am Anfang sagte; Ich verstehe die Ableitung von

(1)

$(1)$ ? Was ich hier frage, ist warum

(3)

$(3)$ falsch. Scheint es so

\frac{m v^{2}}{r} \neq \frac{G M m}{r^{2}}

$\frac{mv^2}{r}\ne\frac{GMm}{r^2}$ ?

Nemo

Wenn Sie die Fluchtgeschwindigkeit ermitteln möchten, sind die Kräfte nicht gleich, denn wenn dies der Fall wäre, umkreist der Testkörper nur den massiven Körper. Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit, die der Prüfkörper haben muss, um der Anziehungskraft des massiven Körpers zu entkommen.

BRAND

@Andrei Okay, dann hätte ich das vielleicht etwas genauer formulieren sollen. Wenn ich mich verändere

v = \sqrt{\frac{G M}{r}} ⟶ v > \sqrt{\frac{G M}{r}}

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\longrightarrow v \gt \sqrt{\frac{GM}{r}}$ dann Gleichung

(3)

$(3)$ wird mir sagen, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper schneller bewegen muss , als um zu entkommen; ist das besser?

Alchimista

Kommentar von @Rishy Kakkar ist die Antwort. Wie durch das von Farcher gegebene A artikuliert.

Jerry Schirmer

@BLAZE: Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich in einer Rakete in einer kreisförmigen Umlaufbahn. Sie feuern Ihre Rakete für 1s ab und fügen eine kleine Menge Energie hinzu. was geschieht? Sie landen auf einer elliptischen Umlaufbahn mit einem Perigäum auf dem alten Kreisradius und einem etwas größeren Apogäum (der Punkt, an dem Sie Ihre Rakete abgefeuert haben, muss auf der Umlaufbahn bleiben). Um zu entkommen, müssen Sie Ihre Rakete lange genug abfeuern, um den Höhepunkt bis ins Unendliche zu bringen, an welchem Punkt die Umlaufbahn zu einer Parabel wird (und zu einer Hyperbel für jede zusätzliche Energie, die Sie hinzufügen).

BRAND

@Jerry Vielen Dank für Ihren Kommentar, aber meine Frage hier ist sehr viel einfacher. Ich will nur wissen, ob die Formel stimmt

(1)

$(1)$ Und

(3)

$(3)$ Geben sie die Geschwindigkeit an, um im Orbit zu bleiben, oder geben sie die Geschwindigkeit an, um aus dem Orbit zu entkommen? Das ist alles, was ich an dieser Stelle wissen möchte, das Problem ist, dass ich gemischte Antworten bekomme.

Jerry Schirmer

@BLAZE-Formel (1) ist die Mindestgeschwindigkeit, um dem Gravitationseinfluss des Körpers vollständig zu entkommen. Formel (3) gibt die Geschwindigkeit einer bestimmten Umlaufbahn an. Mein obiges Argument ist, warum die Geschwindigkeit, die etwas über der in (3) angegebenen Geschwindigkeit liegt, es Ihnen NICHT ermöglicht, zu entkommen.

Antworten (5)

Warum ist v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} keine gültige Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit?

Sie haben die Energie verfehlt, die erforderlich ist, um die Testmasse dorthin zu bringen
Wenn Sie die Kräfte gleichsetzen, erhalten Sie die Umlaufgeschwindigkeit.
@RishiKakkar Wie ich schon ganz am Anfang sagte; Ich verstehe die Ableitung von $(1)$ ? Was ich hier frage, ist warum $(3)$ falsch. Scheint es so $\frac{mv^2}{r}\ne\frac{GMm}{r^2}$ ?
Wenn Sie die Fluchtgeschwindigkeit ermitteln möchten, sind die Kräfte nicht gleich, denn wenn dies der Fall wäre, umkreist der Testkörper nur den massiven Körper. Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit, die der Prüfkörper haben muss, um der Anziehungskraft des massiven Körpers zu entkommen.
@Andrei Okay, dann hätte ich das vielleicht etwas genauer formulieren sollen. Wenn ich mich verändere $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\longrightarrow v \gt \sqrt{\frac{GM}{r}}$ dann Gleichung $(3)$ wird mir sagen, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper schneller bewegen muss , als um zu entkommen; ist das besser?
Kommentar von @Rishy Kakkar ist die Antwort. Wie durch das von Farcher gegebene A artikuliert.
@BLAZE: Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich in einer Rakete in einer kreisförmigen Umlaufbahn. Sie feuern Ihre Rakete für 1s ab und fügen eine kleine Menge Energie hinzu. was geschieht? Sie landen auf einer elliptischen Umlaufbahn mit einem Perigäum auf dem alten Kreisradius und einem etwas größeren Apogäum (der Punkt, an dem Sie Ihre Rakete abgefeuert haben, muss auf der Umlaufbahn bleiben). Um zu entkommen, müssen Sie Ihre Rakete lange genug abfeuern, um den Höhepunkt bis ins Unendliche zu bringen, an welchem Punkt die Umlaufbahn zu einer Parabel wird (und zu einer Hyperbel für jede zusätzliche Energie, die Sie hinzufügen).
@Jerry Vielen Dank für Ihren Kommentar, aber meine Frage hier ist sehr viel einfacher. Ich will nur wissen, ob die Formel stimmt $(1)$ Und $(3)$ Geben sie die Geschwindigkeit an, um im Orbit zu bleiben, oder geben sie die Geschwindigkeit an, um aus dem Orbit zu entkommen? Das ist alles, was ich an dieser Stelle wissen möchte, das Problem ist, dass ich gemischte Antworten bekomme.
@BLAZE-Formel (1) ist die Mindestgeschwindigkeit, um dem Gravitationseinfluss des Körpers vollständig zu entkommen. Formel (3) gibt die Geschwindigkeit einer bestimmten Umlaufbahn an. Mein obiges Argument ist, warum die Geschwindigkeit, die etwas über der in (3) angegebenen Geschwindigkeit liegt, es Ihnen NICHT ermöglicht, zu entkommen.

Locken · Answer 1

Das Wichtigste zuerst: Wenn ein Objekt in der Newtonschen Mechanik um seinen Wirt herumwandert (z. B. ein Planet zu einem Stern), folgt es einer Umlaufbahn, die ein Kegelschnitt ist : entweder eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Ein Kreis ist ein Spezialfall einer Ellipse. Eine Ellipse ist eine gebundene Umlaufbahn, während die anderen beiden ungebunden sind.

Ihre Ableitung geht von einer Kreisbahn aus. Eine gestörte Kreisbahn wird jedoch nicht hyperbolisch – sie wird elliptisch. Mit anderen Worten, wenn Sie ein Objekt nehmen, das sich gerade im Kreis bewegt, und es dazu bringen, sich etwas schneller zu bewegen, wechselt es nicht auf eine hyperbolische Umlaufbahn. Es ist immer noch an den Host gebunden .

Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit, die erforderlich ist, damit sich das Objekt löst. Ein Objekt muss bewegt werden $v \geq \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ auf einer hyperbolischen Umlaufbahn sein.

Danke für deine Antwort; was ist gemeint mit "weshalb die Ableitung der Fluchtgeschwindigkeit die geleistete Arbeit berechnet"? 'Arbeit erledigt' an/durch was ?
Die Arbeit, die am Testkörper geleistet wird, was auch immer ihn in den Weltraum bringt.
Ich werde meine Antwort bearbeiten, um sie leichter zu verstehen.
@BLAZE Macht es jetzt Sinn? Wenn nein, welche Teile verstehst du nicht?

Steeven · Answer 2

Diese Antwort befasst sich mit der in der Frage vorgenommenen Änderung.

Ihre Frage läuft darauf hinaus (korrigieren Sie mich, wenn falsch): Wenn (1) $v_{escape} =\sqrt{2Gm/r}$ die Fluchtgeschwindigkeit ist und (3) $v_{circular\;orbit} =\sqrt{Gm/r}$ Umlaufgeschwindigkeit ist, was wäre dann zum Beispiel $v=\sqrt{1.5Gm/r}$ Sei? Oder mit anderen Worten, was passiert mit einer höheren Geschwindigkeit als $v_{circular\;orbit}$ aber niedriger als $v_{escape}$ ?

Die Antwort lautet: eine elliptische Umlaufbahn.

(1) wird für die Umlaufbahngrenze abgeleitet (es wird angenommen, dass das Objekt unendlich weit reicht) und (3) wird für eine kreisförmige Umlaufbahn abgeleitet (Sie haben den Ausdruck für die kreisförmige Zentripetalkraft verwendet). Eine dazwischen liegende Geschwindigkeit verzerrt die kreisförmige Umlaufbahn, als ob sie entkommen würde, aber dann immer noch an einem bestimmten Punkt zurückkommt und die jetzt nicht kreisförmige, elliptische Umlaufbahn vervollständigt.

Der gesamte Bereich der möglichen Geschwindigkeiten ist:

$v=0$ : Keine Umlaufbahn (senkrechter Fall).
$0<v<v_{circular\;orbit}$ : "Vertikale" Ellipse
$v=v_{circular\;orbit}$ : Kreis
$v_{circular\;orbit}<v<v_{escape}$ : "Horizontale" Ellipse
$v=v_{escape}$ : Orbitalgrenze
$v_{escape}<v$ : Keine Umlaufbahn

Wenn Sie nicht unterschiedliche Antworten auf dieselbe Frage geben, sollten Sie meiner Meinung nach nur eine Antwort auf die gesamte Frage geben, da Sie sonst für jeden Teil der Frage die gleichen Stimmen erhalten.
@sammygerbil Einverstanden, aber ich sehe diese beiden Antworten als unterschiedlich an.
Sie sind unterschiedliche Antworten auf unterschiedliche Teile der Frage, nicht unterschiedliche Antworten auf dieselben Teile der Frage. In der für Loop de Loop (Zentripetalkraft) erforderlichen Mindestgeschwindigkeit gab es zwei Teile zu der Frage (wie hier), aber Sie haben nur eine Antwort gegeben.
@Steeven Okay, diese Antwort kommt dem näher, was ich wissen möchte. Was meinst du mit "Limit of orbits" im vorletzten Punkt?
@blaze ich meine "Orbitalgrenze". Sie sind entweder in einer Umlaufbahn gefangen (was bedeutet, dass Sie irgendwann in der Zukunft zurückkehren werden) oder nicht. Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Grenze zwischen erwischt werden und nicht erwischt werden. Alles, was niedriger ist, bedeutet im Orbit gefangen (irgendwann zurückkehren), alles, was größer ist, bedeutet nicht im Orbit gefangen (niemals zurückkehren).
@sammygerbil Es ist möglich, dass diese andere Antwort auch in zwei Teile geteilt werden sollte, ja.
In beiden Fällen sind die beiden Fragen eng miteinander verbunden. Das eine „folgt“ dem anderen. Der Editor fordert Sie auf, Ihre vorhandene Antwort zu ergänzen (wie das OP seiner Frage hinzugefügt hat), anstatt eine neue Antwort zu posten. Wenn Sie der Meinung sind, dass die zweite Frage eine separate Frage ist, sollten Sie das OP bitten, sie als neue Frage zu posten, um konsequent zu sein.
@sammygerbil Da auf dieser Seite mehrere Antworten erlaubt sind, ist an zwei Antworten nichts auszusetzen. Wie konsequent ich mich entscheide, hängt davon ab, wie ich an diesem Morgen aufgewacht bin

Färcher · Answer 3

Die erste Gleichung, die Sie angeben, $v_{\text{escape, surface of Earth}}=\sqrt{\dfrac{2\,GM}{r_{Earth}}}$ , ist die Fluchtgeschwindigkeit für ein Objekt, dem eine bestimmte Menge an kinetischer Energie gegeben wird, um der Anziehungskraft einer nicht rotierenden Erde oder eines anderen nicht rotierenden massiven Körpers zu entkommen.

Wenn sich ein Satellit im Orbit um die Erde befindet, hat er etwas kinetische Energie und auch mehr potenzielle Gravitationsenergie als auf der Erdoberfläche, sodass Sie erwarten würden, dass die Fluchtgeschwindigkeit für einen Satelliten im Orbit um die Erde geringer ist als wenn der Körper von der Oberfläche ausgeht.

Nimmt man den Nullpunkt der potenziellen Gravitationsenergie des Zwei-Körper-Systems als unendlich, so ergibt sich die Gesamtenergie eines Satelliten in einem kreisförmigen Umlaufbahnradius $r$ Ist

\frac{1}{2} M v_{Ö R B ich T}^{2} - \frac{G M M}{R}

$\dfrac 12 m v^2_{\rm orbit} - \dfrac{GMm}{r}$

was bei Verwendung Ihrer Gleichung für die Umlaufgeschwindigkeit $v_{\rm orbit}=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ gibt die Gesamtenergie eines Satelliten an $-\dfrac{GMm}{2r}$

Damit der Satellit aus dieser Umlaufbahn der Anziehungskraft der Erde entkommen kann, muss ihm zusätzliche kinetische Energie zugeführt werden $\dfrac12 m v^2_{\text{escape, in orbit}}$ so dass

\frac{1}{2} M v_{Flucht, im Orbit}^{2} - \frac{G M M}{2 R} = 0 \Rightarrow v_{Flucht, im Orbit} = \sqrt{\frac{G M}{R}}

$\dfrac12 m v^2_{{\text{escape, in orbit}}}-\dfrac{GMm}{2r}=0 \Rightarrow v_{{\text{escape, in orbit}}}= \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$

Ihre Gleichung (3) ist also eine gültige Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit eines Satelliten in einer kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde.

Sie haben vielleicht bemerkt, dass sich Satellitenstartplätze in der Regel in der Nähe des Äquators befinden?
Dies liegt daran, dass ein Satellit auf einer rotierenden Erde bereits etwas kinetische Energie hat, die zu der Gesamtenergie beitragen kann, die er benötigt, um in die Umlaufbahn zu gelangen oder von der Erde zu entkommen, wie in diesem Artikel erklärt wird .

Vielen Dank für diese strenge Antwort; Es gab viele gute Antworten, aber meiner Meinung nach ist diese für mich am nützlichsten, da Sie die Verbindung mit der Formel hergestellt haben $(3)$ Ich habe nachgefragt. Dann verwendet man es in der Ableitung zu erhalten $v_{{\text{escape, in orbit}}}= \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ was ich sehen musste. Diese Gleichung gibt jedoch die Geschwindigkeit an, die erforderlich ist, um "nur" gebunden zu werden. Um zu entkommen ist es nicht besser zu schreiben $v_{{\text{escape, in orbit}}}\gt \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ? Mit freundlichen Grüßen.
@BLAZE In deinem Kommentar bin ich mir nicht sicher, was du im letzten Satz gemeint hast?
Hallo, ich habe gerade eine Bearbeitung am Ende meiner Frage hinzugefügt. hoffentlich wird es dadurch klarer erklärt, danke.
@BLAZE Die angegebene Geschwindigkeit wird dazu führen, dass der Satellit der Anziehungskraft der Erde entkommt, möglicherweise entlang einer parabolischen Flugbahn, wobei der Satellit ohne kinetische Energie die Unendlichkeit "erreicht" und der Satellit nicht zur Erde zurückkehrt. Jede größere Geschwindigkeit führt zu einer endlichen Menge an kinetischer Energie, wenn der Satellit möglicherweise entlang einer hyperbolischen Flugbahn die Unendlichkeit "erreicht".

Steeven · Answer 4

[...] für einen Massetestkörper $m$ im Orbit [...] </blockquote> Ihre Gleichung gibt keine Fluchtgeschwindigkeit an, da das Objekt nicht entkommen ist . Entkommen bedeutet, dass es nicht mehr in einer Umlaufbahn "gefangen" ist. Sie gehen buchstäblich davon aus, dass es sich noch im Orbit befindet. Was Sie ableiten, ist ein Ausdruck für das Objekt, während es sich in der Umlaufbahn befindet – Sie erhalten also die Umlaufgeschwindigkeit . Wenn Sie die Fluchtgeschwindigkeit wünschen, müssen Sie die Ableitung in einer Situation durchführen, in der das Objekt entkommen ist. </div> <ul class="translate-comments"></ul></li> <li class="translate-answers-x">Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-18T01:32:52.977Z <div class="translate-answers-x-author pad"> Simon </div>Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-18T01:32:52.977Z <div class="translate-answers-x-answer pad"> Wenn Sie die Kräfte gleichsetzen, wie Sie es getan haben, erhalten Sie einen gültigen Ausdruck für die Geschwindigkeit eines Objekts in einer stabilen (kreisförmigen) Umlaufbahn. Die Fluchtgeschwindigkeit ist jedoch die Geschwindigkeit, die erforderlich ist, um ein Objekt zu entfernen<mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>" role="presentation" style="position: relative;">r = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi> R </mi><mo> = </mo><mn> 0 </mn> </math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-93">r=0Zu $r = \infty$ . Deshalb müssen Sie die Energiegleichungen verwenden.

Die Gesamtarbeit, die für ein Objekt geleistet wird, um der Umlaufbahn zu entkommen, ist:
$W = \int_{R_{0}}^{\infty} \frac{G M M}{R^{2}} D R = \frac{G M M}{R_{0}}$ $W = \int_{r_0}^{\infty}\frac{GMm}{r^2}dr = \frac{GMm}{r_0}$ Die aus der Fluchtgeschwindigkeit gewonnene kinetische Energie muss also gleich der geleisteten Arbeit sein: $\frac{1}{2} M v_{e}^{2} = \frac{G M M}{R_{0}}$ $\frac 12 m v_e^2 = \frac{GMm}{r_0}$ Und so $v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{R_{0}}}$ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r_0}}$

Chris · Answer 5

Beachten Sie, dass ein Objekt mit Fluchtgeschwindigkeit immer entkommt, unabhängig von der Richtung (vorausgesetzt, es trifft den Planeten nicht). Einfach ausgedrückt liegt dies daran, dass es zu viel Energie hat, um möglicherweise in einer Umlaufbahn zu bleiben.

Damit haben Sie die Geschwindigkeit berechnet, die Sie auf einer kreisförmigen Umlaufbahn hält. Es sollte selbstverständlich sein, dass Sie sich nicht in einer kreisförmigen Umlaufbahn befinden und gleichzeitig den Planeten verlassen können. Das kann also eindeutig nicht auch die Fluchtgeschwindigkeit sein.

Warum ist v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} keine gültige Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit?

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