Problem des Keplerschen Gesetzes

Question

Problem des Keplerschen Gesetzes

Prasad Mani

Zwei Planeten A und B bewegen sich auf elliptischen Bahnen mit Zeitabschnitten um die Sonne $T_A$ Und $T_B$ bzw. Wenn die Exzentrizität der Umlaufbahn von B ε ist und sein Abstand der engsten Annäherung an die Sonne R ist, dann ist der maximal mögliche Abstand zwischen den Planeten?

Versuch einer Lösung

Ich glaube, ich bin fast da, aber das ist, was ich bisher habe. Unter Verwendung der Exzentrizität und R fand ich den Ausdruck für die große Halbachse von B as $R_{SB}$ = $\frac{R}{1-\epsilon}$ und wenn ich die Beziehung für Zeiträume verwende, habe ich den Ausdruck für $R_{SA}$ = $[\frac{T_A}{T_B}]^{2/3}$ $\frac{R}{1-\epsilon}$ Jetzt ist mein Zweifel, ob ich annehmen soll, dass zwei Planeten eine Sonne im selben Fokus haben (sagen wir auf der rechten Seite ... konzentrische Ellipsen darstellen), in welchem Fall die maximale Entfernung ist, wenn einer von ihnen der Sonne am nächsten ist und der andere ist am weitesten ODER wenn die beiden Planeten Sonne in unterschiedlichen Brennpunkten haben (einer links und der andere rechts, dabei überlappen sich die Bahnen teilweise; in beiden Fällen kann ich keinen perfekten Ausdruck für die maximale Entfernung finden!

Dies sind die beiden Fälle, die ich mir vorstelle, natürlich könnten in 2D noch viel mehr anders ausgerichtet sein. Im Diagramm auf der linken Seite ist die maximale Entfernung, wenn beide auf ihrem Höhepunkt sind. Im Diagramm links befindet sich einer am Apogäum und der andere am Perigäum. Ist es möglich, einen Ausdruck für die Entfernung zu finden, den ich differenzieren kann, um den Maximalwert zu finden?

Antwort ist $\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}$ (1+( $\frac{T_A}{T_B})^\frac{2}{3})$ R

Sammy Rennmaus

Wenn Sie sich Ihre Skizze ansehen, welche Option bietet Ihrer Meinung nach die größtmögliche Trennung? Ist es nicht offensichtlich, dass die LHS die größere Trennung ergibt? Natürlich können Sie dies mathematisch tun, indem Sie die relative Ausrichtung definieren

θ

$\theta$ der Bahnen und der Positionen

ϕ_{1}, ϕ_{2}

$\phi_1, \phi_2$ jedes Planeten auf jeder Umlaufbahn, schreiben Sie einen Ausdruck für das Quadrat des Abstands zwischen den Planeten und minimieren Sie diesen bzgl

θ, ϕ_{1}, ϕ_{2}

$\theta, \phi_1, \phi_2$ . Aber das ist mühsam und nicht so überzeugend wie ein Diagramm mit geometrischer Argumentation.

Antworten (2)

Problem des Keplerschen Gesetzes

Wenn Sie sich Ihre Skizze ansehen, welche Option bietet Ihrer Meinung nach die größtmögliche Trennung? Ist es nicht offensichtlich, dass die LHS die größere Trennung ergibt? Natürlich können Sie dies mathematisch tun, indem Sie die relative Ausrichtung definieren $\theta$ der Bahnen und der Positionen $\phi_1, \phi_2$ jedes Planeten auf jeder Umlaufbahn, schreiben Sie einen Ausdruck für das Quadrat des Abstands zwischen den Planeten und minimieren Sie diesen bzgl $\theta, \phi_1, \phi_2$ . Aber das ist mühsam und nicht so überzeugend wie ein Diagramm mit geometrischer Argumentation.

Sammy Rennmaus · Answer 1

Machen Sie eine Skizze der möglichen relativen Ausrichtungen der beiden Bahnen. Die Planeten haben eine maximale Trennung, wenn die Umlaufbahnen so ausgerichtet sind, dass die Hauptachsen ausgerichtet, aber auf eingestellt sind $180^{\circ}$ - dh Apogäume auf gegenüberliegenden Seiten des Fokus.

Im obigen Diagramm ist F der gemeinsame Brennpunkt (die Sonne), und die beiden Planeten können sich irgendwo auf den elliptischen Umlaufbahnen A und B befinden. Während Sie die größere Umlaufbahn A festhalten, ändern Sie die Ausrichtung der Umlaufbahn B, indem Sie sie um den festen Punkt F drehen Planet B kann dann irgendwo innerhalb des Kreises C (rosa schraffiert) liegen, während A irgendwo auf der Ellipse A liegen kann sind auf Positionen $a$ Und $b$ .

Die Distanzen $aF$ Und $Fb$ sind die Apogäume der Umlaufbahnen A und B. Der Apogäum von B ist $(1+\epsilon)R_{SB}$ Wo $R_{SB}=\frac{R}{1-\epsilon}$ ist die große Halbachse von B. Die Exzentrizität der Umlaufbahn A sei $\delta$ . Dann ist der Höhepunkt von A $(1+\delta)R_{SA}$ Wo $R_{SA}$ ist die große Halbachse von A. $R_{SA}$ bezieht sich auf $R_{SB}$ über Keplers drittes Gesetz: $(\frac{T_A}{T_B})^2=(\frac{R_{SA}}{R_{SB}})^3$ . Der maximal mögliche Abstand ab beträgt daher
$(1+\epsilon)R_{SB}+(1+\delta)R_{SA}=(1+\frac{1+\delta}{1+\epsilon}(\frac{T_A}{T_B})^{\frac23})\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}R$ .

Wenn wir davon ausgehen $\delta=\epsilon$ dann erhalten Sie den Ausdruck in Ihrem Antwortschlüssel, nämlich. $(1+(\frac{T_A}{T_B})^{\frac23})\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}R$ . Allerdings gibt es in der Frage keinen Anspruch zu haben $\delta=\epsilon$ . Der maximal mögliche Wert $\delta$ nehmen könnte, ist 1, was aF seinen Maximalwert von gibt $2R_{SA}$ . Dann ist der maximal mögliche Abstand ab $(1+\frac{2}{1+\epsilon}(\frac{T_A}{T_B})^{\frac23})\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}R$ .

Ja, das stimmt, und ich habe erwähnt, dass ich die beiden Fälle, die sich auf diese Ausrichtung beziehen, vor der Bearbeitung ausprobiert habe. Aber es setzt die Orientierung der Umlaufbahnen selbst voraus. Was ich finden möchte, ist der Ausdruck für die maximale Entfernung b / w der Planeten, bei denen es keinen Hinweis auf die Orbitorientierung gibt.
Natürlich. Ich wusste das. Ich konnte den Ausdruck für diese maximale Entfernung einfach nicht finden, indem ich die obigen Variablen verwendete, nämlich. Halbhauptachse von A und Perigäum, Apogäum (und damit Hauptachse von B). Und in der Frage ist die Orientierung der beiden Bahnen zueinander nicht gegeben. Unter der Annahme (richtig) für den von Ihnen erwähnten Fall würde ich eine Antwort erhalten. Aber für den anderen Fall (mein RHS) würde ich einen anderen bekommen
Die Frage stellt sich nach dem größtmöglichen Abstand der Planeten - also nach beliebiger Ausrichtung der Umlaufbahnen.
Okay, könnten Sie mir bitte anhand der Variablen sagen, für die ich die Ausdrücke berechnet habe, was wäre die maximale Entfernung? Weil ich es nicht ohne die Kenntnis der Exzentrizität von A und seines Perigäums und Apogäums sehe
Anhand der Geometrie der Ellipse lässt sich der Abstand berechnen $S$ vom Höhepunkt bis zum Fokus für jeden Planeten, in Bezug auf $\epsilon$ und Abstand der geschlossenen Annäherung $R$ .
Sie wissen, dass die große Halbachse der unbekannten Umlaufbahn A ist $R_{SA}$ so ist der maximale Abstand zwischen A und S $2R_{SA}$ wenn die Exzentrizität der Umlaufbahn A 1 ist. (Umlaufbahn A ist dann eine Gerade SA.) Dann ist der Abstand Fa in meinem Diagramm $2R_{SA}$ .
Entschuldigung, die Antwort berechnet aus (2R $_{SA}$ +Apogäum von B ??), das laut Schlüssel falsch ist
Welche Antwort gibt der Schlüssel? Höhepunkt von B ist $(1+\epsilon)R_{SB}$ .
Die im Schlüssel gegebene Antwort geht davon aus, dass Orbit A die gleiche Exzentrizität wie Orbit B hat. Diese Annahme wird von der von Ihnen gegebenen Frage nicht verlangt. Die Exzentrizität von A kann einen beliebigen Wert von 0 bis 1 haben. Der maximale Abstand aF tritt auf, wenn die Exzentrizität von A 1 ist. Daher denke ich, dass meine Antwort richtig ist.
Endlich! Danke. Die Frage, die ich gepostet habe, ist genau so, wie sie gestellt wurde. Ich schätze, sie waren anmaßender!

DilithiumMatrix · Answer 2

Der Schwerpunkt liegt im Fokus jeder Umlaufbahn. Unter der Annahme, dass die Sonne weitaus massereicher ist als jeder der Planeten, steht die Sonne für beide Umlaufbahnen im Fokus. Beachten Sie jedoch, dass sich bei einer bestimmten elliptischen Umlaufbahn die Form der Umlaufbahn nicht ändert, wenn Sie den Massenschwerpunkt von einem Fokus zum anderen verschieben (es ist symmetrisch). Denken Sie daran, dass die Ausrichtung der Umlaufbahnen nicht unbedingt ausgerichtet ist, nur weil die Sonne für beide im Fokus steht.

Bitte sehen Sie sich die Bearbeitung an, die ich vorgenommen habe. Ich habe das Gefühl, dass ich in meiner Beschreibung zuvor nicht klar war
@PrasadMani Ich denke, du machst das Problem komplizierter als nötig. Sie brauchen keine differenzierte Optimierung --- anhand des von Ihnen hinzugefügten Diagramms können Sie bereits das "Worst-Case-Szenario" (maximale Entfernungen) ausrechnen. Wie können Sie die maximale Entfernung nur anhand der Geometrie des Problems ausdrücken? (Tipp: Finden Sie zuerst die Positionen jeder Umlaufbahn bei maximaler Trennung relativ zum gemeinsamen Fokus).

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