Keplers Gesetz und mein Problem

Lösung 1) „Liegt in einer Ebene“ bedeutet, dass die Umlaufbahn eine 2-dimensionale Form bildet. Das bedeutet, dass Sie einige x-, y- und z-Achsen definieren könnten und die Pfade sowohl für die Sonne als auch für den Planeten immer eine z-Koordinate von haben würden$0$.

Lösung 2) Es ist wahr, dass die Aussage, dass die Umlaufbahn in einer Ebene liegt, nicht dasselbe ist wie der mathematische Beweis des Keplerschen Bahngesetzes. Wenn Sie jedoch zu der Website zurückkehren, von der Ihr Screenshot stammt , werden Sie feststellen, dass sie weiterhin die vollständige und strenge Ableitung für den Orbitalpfad zeigen und zeigen, dass dies ein Kegelschnitt ist, der für einen gravitativ gebundenen Orbit ist die Definition einer Ellipse.

Lösung 3) Es ist wichtig, dass wir unterscheiden$\vec r$Und$r$.$r$ist die Größe des Radius. Sie haben recht, wenn Sie das sagen$\frac{dr}{dt}$ist die Komponente von$\vec v$der entlang des Radius gerichtet ist, weil er einer Abstandsänderung vom Mittelpunkt entspricht. Jedoch,$\vec r$ist der Positionsvektor. Es repräsentiert die Koordinaten des umkreisenden Körpers in der Bahnebene. Als Vektor würde es geschrieben werden als$\vec r=(r,\theta)$; das heißt, es hat Komponenten, die die Entfernung vom Ursprung darstellen,$r$, und der Winkel von einer vordefinierten Bezugslinie,$\theta$. Das sieht man also$\frac{d\vec r}{dt}=\frac{dr}{dt}\hat r+r\frac{d\theta}{dt}\hat\theta$(Die Hutnotation gibt einen Richtungseinheitsvektor an). Was in der von Ihnen gezeigten Gleichung verwendet wurde, war$\frac{d\vec r}{dt}$, die nicht zwangsläufig in radialer Richtung zeigen muss, da sich der Positionsvektor möglicherweise nur einwärts ändert$\theta$. Das sieht man also$\frac{d\vec r}{dt}=\vec v$, das ist eine Definition.

Ich werde nur den ersten Teil Ihrer Frage als zweiten Teil beantworten, deshalb lösen Planeten, die sich in einer elliptischen Umlaufbahn (allgemeiner in einem Kegelschnitt) bewegen, nur die Differentialgleichung für das Newtonsche Gesetz und wenn Sie kein Student sind , ich bezweifle, dass es für Sie relevant ist.

Beachten Sie zunächst, dass die Definition von$\vec v$ist in der Tat$\dot{\vec r}$. Ich weiß nicht, wie du es sonst definieren würdest. Sie sagten die Änderung von$\vec r$ist nicht$\vec v$aber „ es ist die eine Komponente von$v$die nach innen gerichtet ist ". Kann es sein, dass Sie die Änderung von verwechseln$\vec v$, die die Beschleunigung ist und aufgrund des Newtonschen Gesetzes nach innen gerichtet ist , mit der Änderung von$\vec r$, was gerecht ist$\vec v$?

Nehmen wir ein Beispiel. Nehmen Sie an, dass die Umlaufbahn ein Kreis mit Radius ist$r$und der Planet ist in der Position$(r,0)$Jetzt muss der Radius konstant bleiben, also geht der Planet nach innen, wie Sie vermutet haben, aber er muss auch seitwärts gehen, weil er sonst an einem Punkt wäre$(r-\Delta x, 0)$, die nicht auf dem Kreis stehen würden, also die Änderung in$\vec r$nicht nur nach unten, sondern auch seitwärts!

Ich weiß nicht, ob das hilft, aber wenn Sie Ihre Definition von angeben können$\vec v$und warum denkst du das nur der radiale teil$\vec v$Ändert sich die Position, kann ich mehr helfen.