Keine stabilen geschlossenen Bahnen für ein Newtonsches Gravitationsfeld in d≠3d≠3d\neq 3 Raumdimensionen

Hinweise:

1. Beweisen Sie, dass der Drehimpuls $L^{ij}:=x^ip^j-x^jp^i$ist für ein zentrales Kraftgesetz in erhalten$d$räumliche Dimensionen,$i,j\in\{1,2,\ldots ,d\}.$

2. Da macht das Konzept geschlossener Umlaufbahnen keinen Sinn$d\leq 1$, nehmen wir das ab jetzt an$d\geq 2$.

3. Wählen Sie eine 2D-Ebene$\pi$durch den Ursprung, der parallel zu den Anfangspositions- und Impulsvektoren ist. Leite (aus den Bewegungsgleichungen$\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$Und$\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$), dass die Punktmasse weiterhin auf diese 2D-Ebene beschränkt bleibt$\pi$(bekannt als Orbitebene) für alle Zeiten$t$. Somit ist das Problem im Wesentlichen 2+1-dimensional mit radialen Koordinaten$(r,\theta)$und Zeit$t$. [Mit anderen Worten, die Umgebung$d-2$räumliche Dimensionen werden auf passive Zuschauer reduziert. Interessanterweise zeigt dieses Argument im Wesentlichen, dass die Schlussfolgerungen des Satzes von Bertrand unabhängig von der Gesamtzahl sind$d\geq 2$von räumlichen Dimensionen; nämlich die Schlussfolgerung, dass nur zentrale Potentiale der Form$V(r) \propto 1/r$oder$V(r) \propto r^2$haben geschlossene stabile Umlaufbahnen.]

4. Leiten Sie ab, dass die Lagrange-Funktion ist$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 +r^2\dot{\theta}^2) -V(r)$.

5. Die Momente sind

   $$p_{r}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}~=~m\dot{r}$$ Und $$p_{\theta}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}~=~mr^2\dot{\theta}.$$

6. Beachten Sie, dass$\theta$ist eine zyklische Größe, also der entsprechende Impuls$p_{\theta}$(das ist der Drehimpuls) bleibt erhalten.

7. Leiten Sie ab, dass der Hamiltonoperator ist$H=\frac{p_{r}^2}{2m}+\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}+ V(r)$.

8. Interpretieren Sie den Term der kinetischen Winkelenergie

   $$\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}~=:~V_{\rm cf}(r)$$ als zentrifugaler Potentialterm in einer 1D-Radialwelt. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag. Daher ist das Problem im Wesentlichen 1+1-dimensional$H=\frac{p_{r}^2}{2m}+V_{\rm cf}(r)+V(r)$.

9. Von nun an gehen wir davon aus, dass die zentrale Kraft$F(r)$ist die Newtonsche Gravitation. Anzeigen über a$d$-dimensionales Gaußsches Gesetz, das eine Newtonsche Gravitationskraft in sich trägt$d$Räumliche Dimensionen hängen von der Entfernung ab$r$als$F(r)\propto r^{1-d}$. (Siehe auch zB die Webseite www.superstringtheory.com , oder B. Zwiebach, A First course in String Theory, Abschnitt 3.7.) Äquivalent ist das Newtonsche Gravitationspotential

   $$V(r)~\propto~\left\{\begin{array}{rcl} r^{2-d} &\text{for}& d~\neq~ 2, \\ \ln(r)&\text{for}& d~=~2. \end{array}\right.$$

10. Also aus dem Satz von Bertrand Kandidatendimensionen$d$für geschlossene stabile Bahnen mit Newtonscher Gravitation sind:

    • $d=0$: Hookesches Gesetz (das wir bereits durch die Annahme ausgeschlossen haben$d\geq 2$).
    • $d=3$:$1/r$Potenzial (Standardfall).
    • $d=4$:$1/r^2$Potential (passend umgedeutet als Teil eines Zentrifugalpotentials).

    Wir möchten die letzte Möglichkeit zeigen$d=4$führt doch nicht zu geschlossenen stabilen Umlaufbahnen.

11. Gehe von nun an davon aus$d=4$. Beachten Sie die vereinfachende Tatsache, dass in$d=4$, das Zentrifugalpotential$V_{\rm cf}(r)$und das Gravitationspotential$V(r)$habe genau das gleiche$1/r^2$Abhängigkeit!

12. Also wenn man das abstoßende Zentrifugalpotential$V_{\rm cf}(r)$und das attraktive Gravitationspotential$V(r)$dominiert, wird es weiterhin dominieren, und daher sind geschlossene Umlaufbahnen unmöglich. Die Radialkoordinate$r$würde entweder monoton gehen$0$oder$\infty$, je nachdem welches Potential dominiert.

13. Wenn jedoch das abstoßende Zentrifugalpotential$V_{\rm cf}(r)$und das attraktive Gravitationspotential$V(r)$nur zufällig für eine Distanz stornieren$r$, würden sie weiterhin für alle Distanzen absagen$r$. Newtons zweites Gesetz wird$\ddot{r}=0$. Also eine geschlossene Kreisbahn$\dot{r}=0$ist möglich. Diese geschlossene Kreisbahn ist jedoch nicht stabil gegenüber Störungen der Radialgeschwindigkeit$\dot{r}$, in Übereinstimmung mit dem Satz von Bertrand.

Der 4-dimensionale Fall enthält das 3D, also existieren geschlossene Umlaufbahnen, wenn sie in drei Dimensionen existieren. Wenn im Gegensatz dazu nicht geschlossene Bahnen in 3D existieren, gibt es sie offensichtlich auch in 4D. Gemäß dem Bertrand-Theorem sind die beiden einzigen Potentiale, die in drei Dimensionen stabile geschlossene Umlaufbahnen zulassen, das harmonische und das Newtonsche, also bleibt zu beweisen, dass diese beiden Potentiale in Dimension 4 nicht geschlossene Umlaufbahnen zulassen, der Einfachheit halber werde ich die Berechnung durchführen für den Newton, aber der Beweis für die Harmonische ist ebenso einfach.

Zylinderkoordinaten für einführen$x,y$Und$z,w$separat wird der Lagrangian zu:

Angenommen, das OP fragt, ob die Umlaufbahnen für a geschlossen sind$\frac 1 {r^3}$-Gesetz, dann ist es sicherlich wichtig, darauf hinzuweisen, dass dies einer der drei Fälle ist, in denen die explizite Form der Bahnen bekannt ist. Sie sind die sogenannten Cotes-Spiralen---typische Beispiele sind Rundungen der Form$r \cos ((A \theta+\epsilon)=1$,$r \cosh(A \theta+\epsilon)=1$und hyperbolische Spiralen (für die siehe Wikipedia). Das steht in Newtons Principia.